Login:
Heslo:
 
Reklama: Wifi Analyzer Užitečná aplikace pro Androida
Celý život se učíš!
Hledat
Navigace: Matematika 3.A > Funkce > Co je to funkce ?

Co je to funkce ?

 Funkce je naprosto zásadní pojem v matematice, kterému byste měli plně rozumět. Matematika je protkaná funkcemi a kdejaký symbol, který znáte od základní školy, ve skutečnosti představuje funkci.

Upozornění: tento článek se zabývá čistě jen polopatickým vysvětlením toho, co funkce je.

 

 

 

Analogie funkce

Už jste někdy viděli automat na kávu? Co je pro takový automat typické? Že do automatu vložíte nějaké mince a automat vám vyplivne nějaké kafe. Pokud do automatu nahážete více mincí, automat odpoví lepším kafe.

Funkce představuje takový matematický automat na kávu. Do funkce vložíte nějaký vstup (mince) a funkce vrátí nějaký výstup (kafe). To je celý základní princip funkce.

Úkolem funkce je převzít nějaký vstup, nějaké číslo, něco s tímto číslem uvnitř provést, změnit ho a následně toto nové číslo vrátit na výstupu.

 

Základní pojmy

Každá funkce má jméno, které ji označuje. Nejčastějším jménem pro funkci je písmeno „f“. Pro funkci potřebujeme předpis, který bude určovat, jak má funkce pracovat — jak má automat tu kávu uvařit. Pro začátek si můžeme funkci představit jako tabulku se dvěma sloupečky. V prvním sloupečku bude náš vstup (v automatu by to byla hodnota mincí) a ve druhém výstup funkce (káva).

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \mbox{vstup}&\mbox{vystup}\\
\hline
1&2\\
2&4\\
3&6\\
4&8\\
5&10\\
\hline
\end{tabular}

Vidíme, že výstup je vždy dvakrát větší než vstup, ale vůbec to nemusí být pravidlem. Můžeme mít i takovou tabulku:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \mbox{vstup}&\mbox{vystup}\\
\hline
0&22\\
122&74\\
-3&1\\
42&-45\\
8&84\\
\hline
\end{tabular}

Nicméně pro začátek nám bude stačit první, pravidelná tabulka. Můžeme říci, že tato tabulka definuje funkci f. Co funkce dělá? My do funkce vložíme nějaký vstup, funkce tento vstup vyhledá v prvním sloupečku tabulky a vrátí výstup na témže řádku. Pokud hledáme výstup funkce pro číslo tři, zapsali bychom to takto:

f(3)=6

Našli jsme řádek, kde je vstup rovný trojce a na témže řádku se výstup rovnal šesti. Dále by platilo f(1)=2, f(2)=4, f(4)=8 a f(5)=10. Zapisovat všechny funkce pomocí tabulek se sice možná jeví jako přehledné pro pár čísel, ale pokud pracujeme s více čísly, je to krajně nepraktické. Proto potřebujeme jinou formu zápisu. Můžeme ji zadat funkčním předpisem. V naší tabulce platilo, že výstup je dvakrát větší než vstup. To bychom funkčním předpisem mohli zapsat takto:

f(x)=2\cdot x

Toto je jednoduchá lineární funkce, ale to je zatím jedno. Co nám tento výraz říká? Písmeno „f“ značí název funkce, to už víme. Výraz v závorkách, tedy písmeno „x“, označuje parametr funkce. V analogii s automatem by to představovalo pojem „hodnota vhozených mincí“. Parametr funkce je proměnná, do které se uloží námi předaná hodnota. Pokud bychom do automatu (funkce) vhodili dvacet korun, platilo by ve funkci, že x=20. A dál si s touto hodnotou bude automat či funkce pracovat po své.

Dále je rovnítko a za rovnítkem je samotný předpis, který nám specifikuje, co se má s danou hodnotou x dělat. Vidíme, že funkce předanou hodnotu x vynásobí dvěma. To je vše.

 

Další příklady funkcí

Na této pravé straně může být prakticky jakýkoliv matematický výraz. Mohou tam být i další funkce, mohou tam být podmínky, které zpřesní definici. Mohli bychom slovně zadefinovat nějakou funkci například takto: „pokud je vstupu sudé číslo, vrať nulu, pokud je na vstupu liché číslo, vrať jedničku“. To bude nějaká funkce, která bude vracet pouze jedničku a nulu, ale funkce to bude.

Důležité je pochopit, že funkci je možné zadefinovat téměř jakkoliv. I funkce má samozřejmě svá pravidla, ale ta teď nejsou tak důležitá — jedno z pravidel je navíc zmíněno hned v další kapitole. Definice funkce nemusí dávat na první pohled nějaký smysl, nemusí mít nějaký řád. Funkce může klidně vrátit vždy dvojnásobnou hodnotu kromě případu, kdy je na vstupu sedmička. Pak vrátí devítku. Je to asi celkem nesmysl, ale i toto je funkce.

Funkcí můžeme nazvat i velkou část operací, které děláme mimo matematiku. Například pokud si spočítáte délku slova „mamut“, můžeme říci, že jste zavolali funkci s názvem „délka slova“ a předali jste jí jako argument slovo „mamut“. Funkce spočítala písmena ve slově a vrátila na výstupu číslo pět.

Potřebujete vypočítat, jaký budete platit složený úrok z půjčky? I to může zařídit funkce. Jednoduše nadefinujete funkci tak, že vypočítá velikost úroku třeba po deseti letech. Potřebujete zjistit, kolik kilometrů ještě ujede auto na určitý počet litrů benzinu? Definujte si funkci! Pokud auto ujede průměrně na litr benzinu třeba 11 kilometrů, pak funkci, která spočítá, kolik kilometrů ještě ujedeme, můžeme nadefinovat takto:

\mbox{ujedeme}(x)=11\cdot x

Pokud nám zbývá už jen 17 litrů benzinu, vypočteme vzdálenost zavoláním funkce takto:

\mbox{ujedeme}(17)=11\cdot17=187

Funkce je zkrátka cokoliv, co nám na nějaký vstup vrátí nějaké číslo. Vrať vzdušnou vzdálenost z Opavy do nějakého města, vrať délku nejdelší písně na nějakém zadaném albu, vrať počet vlasů na hlavě zadaného člověka, vrať počet nohou předaného zvířete atp.

 

Podmínka pro funkci

Nesmírně důležitou podmínkou pro funkci je, vrátíme-li se k tabulce, aby se v prvním sloupečku se vstupem neopakovala žádná hodnota dvakrát. Pokud by ta tabulka vypadala takto:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \mbox{vstup}&\mbox{vystup}\\
\hline
1&2\\
1&4\\
1&6\\
4&8\\
5&10\\
\hline
\end{tabular}

…tak bychom nebyli schopni říci, co má funkce vrátit, pokud do ní vložíme jedničku.

f(1)=?

Funkce musí být jasně definovaná, nemůže se stát, že by pro stejný vstup mohla vrátit dva různé výsledky. To prostě nejde. Po funkci požadujeme, aby se stejným vstupem vždy vrátila i stejný výstup. Pozor na to, že tento požadavek se nevztahuje na druhý sloupeček, na výstup. Výstupy mohou být klidně stejné, to nám nevadí. Tato tabulka by byla platná:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline \mbox{vstup}&\mbox{vystup}\\
\hline
1&2\\
2&2\\
3&2\\
4&2\\
5&10\\
\hline
\end{tabular}
 

Práce s funkcí

Už víme, jak se která část funkce nazývá a jak funkci zhruba definovat. Teď si krok po kroku vysvětlíme, jak probíhá vyhodnocení funkce. Máme tedy funkci f(x)=2x. Co se bude dít, když do funkce vhodíme trojku? Pokud chceme do funkce vhodit trojku, znamená to pro nás dosadit za parametr funkce číslo tři. Parametrem funkce je trojka, dosadíme tak za všechna x trojku:

f(3)=2\cdot3

Už vidíme, že funkce vyplivne šestku, stejně jako před chvílí tabulka. Ta se ovšem omezovala pouze na pět čísel, naše nová definice dokáže pobrat i další čísla:

f(10)=2\cdot10=20\\f(54)=2\cdot54=108\\f(-7)=-14

Další dva pojmy k zapamatování. To, s čím funkci voláme (to, co dosadíme za x), se nazývá argument funkce. Může se to zdát trochu zmatené, ale pokud máme funkci f(x) a zavoláme ji s hodnotou tři f(3), pak „x“ je parametr funkce a „3“ je argument funkce. Argument je ta samotná hodnota, se kterou funkci voláme. Parametr je původní proměnná, se kterou se funkce definována.

Další pojem je funkční hodnota, což je hodnota, kterou funkce vrátí na výstupu. Předchozí funkce vrátila při volání s trojkou číslo šest. Číslo šest je tak v tomto případě funkční hodnota. Celou větou bychom řekli „funkce f má v bodě tři funkční hodnotu šest“. Pod pojmem „bod“ se v tomto kontextu obvykle myslí argument funkce.

 

Omezení funkce

Představme si následující funkci:

g(x)=\frac{1}{x}

Vidíme, že jsem změnil pojmenování z f na g. To vůbec nevadí. Pokud tuto funkci zavoláme s dvojkou, získáme jednu polovinu:

g(2)=\frac12

To už by mělo být jasné. Ovšem problém nastává v případě, kdy se budeme snažit funkci zavolat s číslem nula:

g(0)=\frac10

V tuto chvíli by vám měl shořet počítač, protože jedenácté přikázání nám říká, že nulou nepodělíš. Dělení nulou není povolená operace, dělit nulou nesmíme. Co s tím? Musíme být schopni nějakým způsobem vymezit, s kterými čísly můžeme funkce volat a s kterými ne. S jakými čísly tak můžeme funkci g volat? Se všemi reálnými číslykromě nuly. Tomuto vymezení říkáme definiční obor funkce. (O definičním oboru funkce zde existuje samostatný článek.)

Definiční obor tak představuje množinu přípustných argumentů funkce, množinu hodnot, pro která má daná funkce smysl. Definiční obor značíme D(f), kde f je název funkce, pro který to určujeme. V tomto případě by tak platilo:

D(g)=\mathbb{R}-\{0\}

Zkusíme si vzít další funkci:

\mbox{abs}(x)=|x|,

kde ty svislé čáry značí absolutní hodnotu. Absolutní hodnota nám ze záporného čísla udělá kladné, ale kladné číslo nezmění. Definiční obor bude R, tuto funkci můžeme zavolat s jakýmkoliv reálným číslem. Zajímavou otázkou ale může být, jakých hodnot bude taková funkce nabývat. Odpovědí je, že z definice platí, že to bude vždy číslo větší nebo rovno nule. Nemůže to být číslo záporné, protože absolutní hodnota nám ze záporného čísla udělá číslo kladné.

S definičním oborem funkce tak souvisí pojem obor hodnot, což je množina funkčních hodnot dané funkce. Tj. množina všech hodnot, které může daná funkce vrátit na výstupu. Námi nedefinovaná funkce abs vždy vrátí číslo nezáporné, což je zároveň i obor hodnot. Ten značíme H(f), kde f je název funkce, pro kterou obor hodnot určujeme. Pro naši funkci platí:

H(\mbox{abs})=\left<0,\infty\right)
 

Skládání funkcí

Jedna funkce toho moc nezmůže. Proto je umožněno, aby se funkce mohly skládat. Co to znamená? Že se výsledek (výstup) jedné funkce může stát argumentem (vstupem) jiné funkce. Funkce skládáme jednoduše, prostě do závorek místo parametru vložíme další volání funkce:

q=f(g(x))

Teď jsme složili funkce f a g. Výpočet by probíhal tak, že nejprve vypočteme hodnotu g(x) a tento výsledek vložíme jako argument funkce f. A až tento konečný výsledek uložíme do hodnoty q. Mohli bychom to rozepsat takto:

a=g(x)\\q=f(a)

Konkrétní příklad i s definicemi funkcí f a g a voláním, kde za x dosadíme 6, tj. x=6:

f(x)=2x+4\\g(x)=\frac{x}{3}\\f(g(6))=f(\frac{6}{3})=f(2)=2\cdot2+4=8

Jako první jsme za x dosadili šestku a vypočítali hodnotu g(6). Tj. dosadili jsme do zlomku a funkce g nám vrátila výsledek 2. Tuto dvojku jsme následně vložili do funkce f, tj do výrazu 2x+4 a vyšlo nám tak osm.

 

Funkce s více parametry

Prozatím jsme pracovali s funkcemi, které mají jeden parametr. Nicméně funkce může mít klidně dva parametry, či ještě více. S takovou funkcí se pracuje stejně jako s funkcí s jedním parametrem, jen máme, v tabulkové analogii, více sloupečků se vstupy, ale zůstává jeden sloupeček pro výstup. Taková tabulka by mohla vypadat takto:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline \mbox{vstup a}&\mbox{vstup b}&\mbox{vystup}\\
\hline
1&1&2\\
1&2&3\\
2&2&4\\
2&4&6\\
3&5&8\\
\hline
\end{tabular}

Označení takové funkce by vypadalo podobně jako u funkce s jedním parametrem: f(a,b). Volání by pak vypadalo f(1,2). Postup při vyhodnocení by vypadal tak, že by se našel řádek, kde vstup a=1 a vstup b=2. Na takovém řádku má sloupeček výstup hodnotu 3, to by byl i výsledek volání této funkce.

Všimněte si, že ve sloupečku vstup a jsou některé hodnoty vícekrát. Už jsme si řekli, že funkce musí pro stejný vstup vrátit vždy stejný výsledek. Platí to tady, když máme v jednom vstupním sloupečku stejné hodnoty? Platí, protože nám je rozlišuje druhý sloupeček. Funkce voláme se dvěma argumenty, takže musí platit, že pro každou stejnou dvojici argumentů musí funkce vrátit stejný výsledek. Špatná tabulka by vypadala takto:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline \mbox{vstup a}&\mbox{vstup b}&\mbox{vystup}\\
\hline
1&2&2\\
1&2&3\\
2&2&4\\
2&4&6\\
3&5&8\\
\hline
\end{tabular}

První dva řádky mají na vstupech stejné hodnoty, proto tato tabulka není platnou definicí funkce. Tato funkce by nevěděla co vrátit, kdybychom ji zavolali s argumenty f(1,2).

V matematice je funkce dvou parametrů například mocnina. Mocninná funkce bere jako jeden argument základ a jako druhý exponent. Abychom si rozuměli, zápis x2 je ve skutečnosti volání funkce o dvou parametrech. Pokud bychom si umocňování chtěli ručně definovat jako funkci, mohli bychom to udělat takto:

\mbox{mocnina}(a,b)=a^b

Parametr „a“ je základ a parametr „b“ je exponent. Zápis x2 bychom tak mohli zapsat také jako mocnina(x, 2). V těle funkce by se pak za parametr „a“ dosadila proměnná „x“ a za parametr „b“ by se dosadil exponent 2. A máme zpět výraz x2.

 

Funkce v běžné matematice

V běžné matematice se vyskytuje hromada funkcí, které mají velmi speciální způsob zápisu, takže to ani nevypadá, že se jedná o funkce. Například již zmíněná absolutní hodnota není nic jiného než funkce. Na vstupu bere nějaké číslo a na výstupu vrací buď stejné číslo, nebo číslo s opačným znaménkem.

Určitě poznáváte symbol pro odmocninu: √. Toto je zase funkce. Na vstupu bere nějaký argument a na výstupu vrací druhou odmocninu. Obdobně i druhá mocnina x2je funkce. Na vstupu bere číslo a na výstupu vrací druhou mocninu toho čísla.

Je docela důležité si uvědomit, že většina podobných magických symbolů není ve skutečnosti nic složitějšího než nějaká obyčejná funkce. Nedívejte se na symbol √ jako na podivný zahnutý patvar, dívejte se na ten symbol jako na funkci.

Proč to říkám? Protože zejména pro začátečníka může být matoucí výraz, který obsahuje hromadu matematických symbolů, se kterými si chudák začátečník z půlky neví rady a přitom se prostě jedná o pár (složených) funkcí. Vezměme si na pomoc tento příklad:

\LARGE\sqrt{|x^2|}!

Na to když se podívá matematický laik, tak se poškrábe na hlavě a nebude moc tušit, co s tím má dělat. Přitom v tom výrazu jsou obsaženy celkem čtyři celkem jednoduché funkce, které se postupně aplikují na proměnnou x. Dalo by se to rozepsat pomocí pojmenovaných a vnořených funkcí takto:

\mbox{fak}(\mbox{odm}(\mbox{abs}(\mbox{na2}(x))))

Zápis je to delší, ale pro někoho, kdo se nevyzná v symbolech asi přehlednější. Třípísmenné názvy funkcí jsou složeny z počátečních písmen funkce, kterou reprezentují. Tedy „na2“ značí umocnění na druhou, „abs“ je absolutní hodnota, „odm“ je odmocnina a trochu neslušné fak je faktoriál. Zároveň je také naprosto jasná posloupnost, v jaké se budou funkce postupně volat.

 

Shrnutí zápisu funkce

Funkce má jméno, což může být v podstatě cokoliv. Nejčastěji se obecná funkce zapisuje jako „f“ nebo jako „f(x)“. V daném kontextu by mezi těmi zápisy neměl být rozdíl, obě odkazují na funkci „f“; druhá verze je pouze zpřesněním první verze, protože udává i počet parametrů.

Příklady zápisu funkcí v matematice: sin(x) je funkce sinus|x| je funkce absolutní hodnota√x je funkce odmocninax! je funkce faktoriál a ζ(x) je Riemannova zeta funkce. Jak je vidět, funkci můžeme zapsat prakticky jakkoliv.

Mluví-li se o parametru funkce, mluví se o písmenu „x“ v zápise „f(x)“. Argument je pak hodnota, se kterou funkci voláme, kterou dosazujeme za „x“. Často tyto dva pojmy splývají. Funkční hodnota je hodnota, která vyleze po zavolání funkce. Pokud mluvíme například o dvojici x a f(x), mluvíme o dvojici argument a funkční hodnota dané funkce při argumentu x. Takže pokud máme funkci f(x)=2x, pak dvojicí [x, f(x)] mohou být dvojice [2, 4], [6, 12], [-1, -2] apod.

 

Graf funkce

Graf funkce f je křivka, která popisuje chování funkce f. Je to křivka, která kopíruje fukční hodnoty funkce f. Pokud chceme nakreslit graf funkce jedné proměnné, budeme potřebovat rovinu a dvě osy — x a y. To určitě znáte, jsou to ty dvě kolmice. Vypadá to takto:

Prázdný graf s osou x a yPrázdný graf s osou x a y

Graf funkce f nakreslíme tak, že vezmeme nějaký bod x z definičního oborufunkce a vypočítáme funkční hodnotu f(x). Dostaneme tak dvojici [x, f(x)]. Tato dvojice představuje souřadnice bodu grafu. První součadnice (tedy x) naneseme na x-ovou osu a druhou souřadnici (tedy f(x)) naneseme na y-ovou osu. Pokud budeme mít funkce f(x)=x+1, tak pokud za x zvolíme jedničku, získáme dvojice [1, 2]. Tu naneseme na graf takto:

Přidán bod na souřadnice [1, 2]Přidán bod na souřadnice [1, 2]

Dále přidáme body [0, 1] a [-1, 0]. Získáme takový obrázek:

Přidány body [0, 1] a [-1, 0]Přidány body [0, 1] a [-1, 0]

Pokud bychom takto postupně spočítali všechny body z definičního oboru funkce, získali bychom jednolitou čáru, která by vypadala takto:

Hotový graf funkce f(x)=x+1Hotový graf funkce f(x)=x+1

Tato čára představuje graf funkce f(x)=x+1. Z tohoto grafu můžeme zpětně vyčíst funkční hodnoty. Pokud budete chtít zjistit funkční hodnotu v bodě x=-2, najdete na grafu na ose x hodnotu -2 a následně se podíváte na křivku a zjistíte, jakou y-ovou souřadnici má bod, který má x-ovou souřadnici -2.

 

 

 
© m3a.zacit.cz - vytvořte si také své webové stránky zdarma