Login:
Heslo:
 
Reklama: Bezpečnostní schránka Co to je bezpečnostní schránka.
Celý život se učíš!
Hledat
Navigace: Matematika 3.A > Funkce > Kvadratická funkce

Kvadratická funkce

 Kvadratická funkce je taková funkce, kterou lze vyjádřit předpisem f(x) = ax2 + bx + c, kde a,bc jsou reálná čísla a dále a ≠ 0. Stejně jako lineární funkce je vždy popsána přímkou, kvadratická funkce je zase vždy popsána parabolou. Osa takovéto paraboly je vždy rovnoběžná s ypsilonovou osou a průsečík osy s grafem funkce se nazývá vrchol - to je prostě to místo, kde má graf minimum či maximum. Samotné členy se nazývají: ax2 je kvadratický člen, bx je lineární člen a c je absolutní člen.

 

Vlastnosti kvadratické funkce

Definiční obor funkce je Robor hodnot závisí na konkrétní funkci, ale vždy jde do (plus nebo minus) nekonečna. Kvadratická funkce je dále vždy v polovině intervalu rostoucía v druhé polovině klesající. Pokud je lineární člen roven nule (b = 0), kvadratická funkce je sudá. Dále se nejedná o prostou funkci, ale o omezenou již ano. Pokud jea > 0, je omezená zdola, naopak, je-li a < 0, je omezená shora. Kvadratická funkce má buďto minumum anebo maximum, záleží na parametru a, ale je vždy umístěn do vrcholu funkce. Dále pokud je a > 0, graf je konvexní a jestliže je a < 0, graf je konkávní - platí v celém definičním oboru. Často se také určují průsečíky s osami x a y. Ty spočítáte jednoduše tak, že za y či x v dosadíte nulu a spočítáte klasickou rovnici.

 

Metoda doplnění na čtverec a výpočet vrcholu

Metoda doplnění na čtverec má svůj vlatní článek, zde je stručný výtah.

U kvadaratické funkce je také velice důležité určit její vrchol a abyste si nemuseli pamatovat poměrně složitý vzorec, ukáži vám jiný způsob, která využívá metodu doplnění na čtverec. Standardní zápis kvadratické funkce vypadá takto:f(x) = ax2 + bx + c. Tento tvar převedný na čtverec by vypadal takhle:f(x) = (x + m)2 + n. Vrchol by měl poté souřadnice V[−m, n]. Nyní už jde jen o to, jak zjistit ty dva body m a n. Postup je následující:

Zkusíme si převést na čtverec funkcičku f(x) = x2 + 4x + 1. Nejprve si napíšeme pouze tu závorku: (x + m) a za m dosadíme poloviční hodnotu parametru b z kvadratické funkce. Parametr b je roven čtyřem, takže dostáváme takovýto zápis:(x + 2)2. Teď je na řadě druhý krok, musíme odečíst přebývající položky. Kdybyste tuto závorku roznásobili, nevyšel by vám správný výsledek. Od závorky se ještě musí odečíst druhá mocnina m a přičíst parametr c z původní funkce. Tedy konkrétně od závorky odečteme 22 a přičteme jedničku: (x + 2)2 −4 + 1, zkráceně (x + 2)2 − 3 - to je finální výsledek. Pro sichr to zkusíme zpětně roznásobit: (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 − 3 = x2 + 4x + 1. Vidíme, že to souhlasí. Vrchol takovéto funkce by měl souřadniceV[−2, −3].

Teď si možná říkáte, že tenhle postup je daleko složitější, než ten výše odkazovaný vzorec. Nu, záleží na tom, na co ten výpočet vrcholu potřebujete. Pokud počítáte jeden příklad nebo píšete zítra písemku, bude lepší se pro jednou naučit ten vzorec (nebo si napsat tahák :-)), pokud si ale chcete zapamatovat výpočet vrcholu kvadratické funkce na trochu delší dobu, tahle metoda bude účinnější, protože, věřte mi, že za nějaký měsíc si na ten vzorec nevzpomenete. Úprava na čtverec je poměrně triviální záležitost a dá se snadno odzkoušet její správnost zpětným roznásobením závorky.

 

Grafické znázornění

Jak už jsem prozradil výše, grafem kvadratické funkce je parabola. Třeba hento je graf prakticky nejjednodušší kvadratické funkce y = x2:

x^2Graf kvadratické funkce x2

Nyní se podíváme, jak se graf bude měnit v závislosti na hodnotě parametru a. Pokud bude a kladné, bude mít graf podobu písmene „U“, pokud bude záporné, bude mít graf podobu kopce. Příklad:

x^2Graf kvadratické funkce x2 - graf má podobu písmene „U“
-x^2Graf kvadratické funkce −¼x2 - graf má podobu kopce
 

Další vlastnosti, která závisí na parametru a, si můžete povšimnout již v předchozích dvou obrázcích, nicméně pro sichr ještě přidám další dva. Jedná se o to, jak je parabola úzká či široká. Čím je totiž absolutní hodnota parametru a větší, tím je výsledná parabola uzší. A naopak. Opět jukněte na grafy:

4x^2Graf kvadratické funkce 4x2 - graf je úzký
0,25x^2Graf kvadratické funkce ¼x2 - graf je široký jak Brno
 
© m3a.zacit.cz - vytvořte si také své webové stránky zdarma