Umocňování je matematická funkce, která, jednoduše řečeno, slouží ke zkrácenému zápisu opakovaného násobení.
Přirozený exponent
Umocňování má tvar an, kde výrazu n říkáme exponent a výrazu a říkáme základ. Dále nás bude zajímat především tvar exponentu. V této části si ukážeme, jaké má vlastnosti mocnina s přirozeným exponentem, tedy když je exponent číslo 1, 2, 3, 4, …
Příkladem takové mocniny je 62. Šestka je základ, dvojka je exponent. Exponent nám říká, kolikrát za sebou máme vynásobit šestku, abychom získali výsledek. Takže platí 62 = 6 · 6 = 36. Jiný příklad 43 = 4 · 4 · 4 = 64. Obecně bychom to mohli zapsat takto:
Základem může být cokoliv — číslo, ale klidně i složitější výraz. Během výpočtu pak jen daný výraz vynásobíte tolikrát, kolikrát udává exponent. Příklady:
Pro exponent, který je rovný nule, zavádíme rovnost a0 = 1.
Záporný exponent
V této části budeme předpokládat, že exponent bude záporný. Jaká by mohla být interpretace? Vyjdeme z toho, že a0 = 1. Pokud chceme vypočítat a1, pak bychom mohli říci, že vynásobíme a0 výrazem a. Protože a0 = 1, tak součinem získáme a0 · a = a. Získáme a. Pokud budeme chtít vypočítat a2, můžeme napsat a2 = a0 · a · a.
O hodnotě a0 = 1 můžeme říci, že je to naše výchozí hodnota a když počítáme an, tak jen n-krát vynásobíme hodnotu a0 výrazem a. Jak bychom postupovali, pokud by nbylo záporné? Pokud je n kladné, tak násobíme. Pokud je n záporné, tak budeme dělit. Takže a−1 bychom získali tak, že bychom vzali počáteční hodnotu a0 a tuto hodnotu bychom podělili výrazem a. Dostáváme tak rovnici:
Pokud bychom chtěli znát a2, vydělili bychom a0 výrazem a dvakrát. Co bychom získali? Nejprve si řekneme, jak můžeme jinak zapsat dělení. Pokud máme podíl x/y, můžeme to stejně tak napsat jako
Je to jedna ze základních vlastností zlomků. Takže pokud chceme nějaký výraz xdvakrát vydělit výrazem y, můžeme to napsat jako
Vraťme se k příkladu a−2. Řekli jsme, že to získáme tak, že výraz a0 dvakrát vydělíme a. To dále upravíme takto:
V tuto chvíli už máme postup, jak vypočítat mocninu se záporným exponentem. Vypočítáme mocninu, jako by byl exponent kladný a následně jen převrátíme hodnotu vydělením jedna lomena výsledek umocnění. Zapsáno přesněji:
(Zde předpokládáme, že −n je záporné číslo, tedy n je kladné.)
Takže několik příkladů:
Racionální exponent
Exponent dále můžeme rozšířit pro všechna racionální čísla. Racionální číslo je takové číslo, které lze vyjádřit ve formě zlomku, podílu dvou celých čísel. Mějme tak zlomek ve tvaru m/n, kde n je kladné číslo. Pak můžeme napsat vzorec
Ten klikyhák nad am je znak pro odmocninu.
Vlastnosti mocnin
- a0 = 1, pokud a ≠ 0.
- a1 = a.
- 0n = 0, pokud n > 0.
- 00 je nedefinovaný výraz.
- (a· b)n = an · bn.
- am · an = am+n.
- , pokud a ≠ 0.
- (am)n = am · n.