Vlastnosti funkce

U každé funkce musíme také určit její definiční obor (značíme D(f)), což je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat. Jednoduchý příklad: f:y = x zde je definiční obor roven celé množině reálných čísel D(f) = R. Jiný příklad: f:y = 1 / x v tomto případě je definiční obor množina reálných čísel, ovšem tentokrát vyjma nuly, protože nemůžete dělit nulou, výraz by poté nedával smysl D(f) = R − {0}.

Obor hodnot (značíme H(f)) je poté analogicky množina všech přípustných y, tedy množiny všech prvků, kam může ukazovat funkce f. Opět jednoduchý příklad: mějme funkci f:y = x. Zde je oborem hodnot množina R, protože y může dosahovat libovolné hodnoty z této množiny. Vezměme si ovšem další funkci f:y = |x| (absolutní hodnota). Tady již bude obor hodnot roven intervalu <0, +∞), protože se nikdy nemůže stát, že by se y rovnalo například minus pěti, protože to z definice absolutní není možné.

Pokud bychom se drželi pojmu zobrazení z množiny A do množiny B, pak vězte, že množina A jest definičním oborem a množina B se nazývá obor hodnot.

Monotonnost funkce je vlastnost, která určuje, zda je funkce na daném intervalurostoucí, klesající, neroustoucí, neklasající anebo konstantní.

Nejlépe jde tato vlastnost vyčíst z grafu, jestliže máte pocit, že graf klesá, jedná se o funkci klesající, roste-li funkce, je to funkce rostoucí. Jak prosté :-). Teď už jen zbývá matematické vyjádření. Funkce je rostoucí, pokud x₁ > x₂  f(x₁) > f(x₂) (tedy je-li první číslo větší než druhé, musí být i funkční hodnota prvního čísla větší než druhého). Naopak je klesající, jestliže x₁ > x₂  f(x₁) < f(x₂) (je-li první číslo větší než druhé, musí být funkční hodnota prvního menší než druhého).

Funkce rostoucí na celém svém definičním oboru – přirozený logaritmus

Funkce klesající na intervalu nula až Pí –kotangens

Konstatní funkce se definuje zcela jednoduše: x₁ ≠ x₂  f(x₁) = f(x_2­). Funkce neklesající a neroustoucí se definují podobně jako klesající a rostoucí – funkce je neklesající, pokud je na daném intervalu rostoucí anebo konstatní, což dává definicix₁ < x₂  f(x₁) ≤ f(x₂) a obdobně pro nerostoucí: x₁ < x₂  f(x₁) ≥ f(x_2­).

Funkce neklesající: (sgn(x) * x) + x

Funkce nerostoucí: |x| − x

Pokud chcete zjistit, ve kterých intervalech je daná funkce klesající nebo rostoucí, pak můžete použít derivace. Přesný postup je pak popsán v článku průběh funkce.

Některé funkce mohou být za jistých podmínek sudé anebo liché. Nejjednodušší je znát graf funkce, tam to lze poznat nejrychleji. Funkce sudá je totiž souměrná podle osy y, kdežto funkce lichá je souměrná podle počátku. Příklad sudé funkce může býty = x² a liché prakticky nejjednodušší funkce y = x.

sudá funkce souměrná podle osy y – kvadratická funkce

lichá funkce souměrná podle počátku – lineární funkce

Matematicky se pak tyto vlastnosti zapíší takto: sudá funkce f(x) = f(−x) (funkce je sudá, jestliže funkční hodnota v x se rovná funkční hodnotě v −x). Lichá funkce:f(−x) = −f(x) (funkce je lichá, jestliže se funkční hodnota v −x rovná minus funkční hodnotě v x). x vždy vybíráme z definičního o­boru.

O sudých a lichých funkcích pojednává samostatný článek Sudá a lichá funkce.

Prostá funkce je taková funkce, pro kterou platí

Případně můžeme implikaci obrátit takto:

Takže česky řečeno, pokud má být funkce prostá, každému x musí být přiřazeno jedinečné y, nemůže se stát, že by pro dvě různá x byla stejná funkční hodnota. Neboli – jak říká předchozí definice – pokud se rovnají funkční hodnoty, musí se rovat i jejich argumenty. Graficky se to dá poznat jako vždycky zcela jednoduše. Pokud položíte grafem přímku rovnoběžnou s osou x, musí protínat graf maximálně v jednom bodě. Příkladem prosté funkce je například lineární funkce y = 3×. Ať vezmete jakoukoliv přímku, vždy protne graf právě v jednom bodě. Opakem je třeba funkce sinus, jejíž graf tvoří jakési vlnky, takže pokud položíte přímku rovnoběžnou s osou xprotínající osu y v bodě 0,5, naleznete nekonečně mnoho průsečíků s grafem, tudíž to není funkce prostá.

prostá funkce, přímka protíná graf v jednom bodě – lineární funkce

funkce není prostá, přímka protíná graf v nekonečno bodech – funkce sinus

Mimochodem pokud bychom se vrátili k zobrazení, tak můžeme prostou funkci nazvat jako injektivní zobrazení.

Funkce mohou být omezené a to shora omezené, zdola omezené anebo jak shora, tak zdola – takové funkci prostě říkáme funkce omezená. Funkce f je shora omezená, pokud nalezeneme takové číslo A, pro které platí – pro všechna x z definičního oboru –f(x) ≤ A. Pokud je tedy funkce shora omezená, musíme najít číslo, které bude větší než všechny možné výsledky funkce, tedy větší než jakýkoliv prvek z oboru hodnot. Na grafu si to můžete představit takto – pokud najdete vodorovnou přímku a všechny body grafu se nacházejí pod touto přímkou, je funkce shora omezená.

graf funkce omezené shora – obrácená exponenciální funkce

Na tomto obrázku jsem vám naservíroval graf exponenciální funkce −(2^x) + 1(zelená čára). Jak je vidět, funkce je to shora omezená, neboť jsme schopni nalézt vodorovnou přímku (to je ta hnědá čára), která bude nad grafem – celý graf se nachází pod touto přímkou. Povšimněte si prosím, že není nutné, aby nalezená přímka byla jakousi „nejbližší přímkou“, stačí prostě nalézt přímku jakkoliv vzdálenou od grafu, jež splňuje zadané podmínky. Pokud už ovšem takovouto přímku nalezneme (v tomto případě by to byla přímka y = 1), nalezli jsme supremum (pozor, supremum není přímo ta přímka, ale stále je to číslo, v tomto případě tedy jednička).

graf funkce omezené zdola – kvadratická funkce

Funkce zdola omezená se definuje velice podobně – musíme najít takové číslo A, pro které platí – pro všechna x z definičního oboru – f(x) ≥ A. Je to ten samý případ jako u shora omezené funkce, jen hledáte takové číslo, pro které platí, že všechny funkční hodnoty budou větší, ne menší. V grafu poté hledáte přímku, která bude zcela pod grafem. Na tomto obrázku vidíte graf funkce x², která je zdola omezená, neboť jsme schopni nalézt ono číslo A (zde znázorněno přímkou y = −2), které bude menší než všechny funkční hodnoty grafu. Pokud najdeme nejbližší číslo, nazývá se Infimum.

Pokud je funkce omezená shora i zdola, jedná se o funkci omezenou. Jako hezký příklad může posloužit periodická funkce sinus:

graf funkce omezené – funkce sinus

Funkce může mít na nějakém intervalu z definičního oboru lokální extrém, tedy buď lokální minimum nebo lokální maximum. Pokud za dotyčný interval budeme počítat přímo definiční obor a nalezneme zde extrém, nejedná se již o lokální maximum či minimum, ale o maximum a minimum celé funkce. Pokud má být M lokální minimum, musíme být schopni nalézt takový interval (a, b), pro který platí, že pro všechny xz intervalu (a, b) platí, že f(x) > f(M). Pro maximum N se pouze vymění znaménko –f(x) < f(N).

Na grafu asi maximum a minimim funkce najdete docela snadno, podíváte se prostě, kde je funkce nejníže či nejvýše. Funkce ovšem samozřejmě nemusí mít ani minimum ani maximum, či může mít pouze minimum anebo pouze maximum, stejně tak může funkce mít pouze lokální extrémy, ale na celém definičním oboru nemít žádný extrém. Ještě je docela důležité upozornit na to, že extrémy se nepočítají na y-ové ose, ale na x-ové, tedy nalezneme-li souřadnice nejvyššího bodu funkce na daném intervalu, maximum je x-ová souřadnice tohoto bude, ne y-ová.

Pokud potřebujete najít minima a maxima, použijte derivace, přesný postup je popsán v článku průběh funkce.

Inverzní funkce je opačná funkce k nějaké jiné funkci. Zkrátka pokud původní funkce fzobrazuje prvky z množiny M do množiny N, pak inverzní funkce f⁻¹ zobrazuje prvky z množiny N do množiny M. Pokud máme například lineární funkce y = 2× a y = ½x, jsou to navzájem inverzní funkce, neboť když do první rovnice dosadíme za x jedničku, vyjde nám y = 2. Pokud tuto dvojku dosadíme do druhé funkce, po dlouhém výpočtu nám z funkce vyleze jednička. První funkce zobrazuje 1 → 2 a druhá funkce 2 → 1. Na grafu se navzájem inverzní funkce projevují osovou souměrností podle osy prvního a třetího kvadrantu (jakoby grafu funkce y = x).

O inverzní funkce více pojednává samostatný článek Inverzní funkce.

navzájem inverzní funkce – logaritmusa exponenciála

Řešené příklady

Určete vlastnosti funkce podle následujícího grafu:

• Definičním oborem této funkce je interval <−4, 4>.
• Obor hodnot je interval <−2, 4>.
• Funkce sice vypadá, že by mohla být rostoucí, ale v úseku <0, 2> má funkce konstatní hodnotu, takže rostoucí být nemůže. Nicméně funkce v žádné intervalu neklesá, proto je to funkce neklesající.
• Graf funkce není souměrný s osou y ani s počátkem souřadnicového systému, takže funkce není ani sudá, ani lichá.
• Je funkce prostá? Už bylo řečeno, že v úseku <0, 2> má funkce konstatní hodnotu, takže funkce nemůže být prostá. Pro různá x má stejné y.
• Funkce je omezená a to jak shora, tak zdola. Jsme schopni nalézt vodorovnou přímku, která bude nad celým grafem i pod celým grafem.
• Zadaná funkce má i minimum a maximum. Minimum má v bodě[−4, -2] a maximum v bodě [4, 4].

Určete vlastnosti funkce podle následujícího grafu:

• Definiční obor funkce je <−2, −1> sjednoceno s <0, 1>;
• Obor hodnot je interval <−2, 2>;
• Funkce už od pohledu není rostoucí ani klesající;
• Graf není souměrný ani s osou y, ani s počátkem, takže funkce není ani lichá, ani sudá;
• Otázka, zda je funkce prostá, je již zajímavější. Na první pohled by se mohlo i zdát, že jo, ale všimněte si, že pro x=−1 a x=1 má funkce stejné hodnoty (y=0). Tedy funkce není prostá.
• Funkce je omezená a to jak shora, tak zdola. Jsme schopni nalézt vodorovnou přímku, která bude nad celým grafem i pod celým grafem.
• Zadaná funkce má i minimum a maximum. Minimum má v bodě[−2, −2] a maximum v bodě [0, 2]