Login:
Heslo:
 
Reklama: Wifi Analyzer Užitečná aplikace pro Androida
Celý život se učíš!
Hledat
Navigace: Matematika 3.A > Geometrie > Přímka

Přímka

 Přímka je druhý nejjednodušší geometrický útvar a je jednorozměrná (má jako by pouze délku). Přímka je, jednoduše řečeno, nekonečně dlouhá rovná čára, která nemá ani konec ani začátek.

 

Základní vlastnosti

Přímka se obvykle zapisuje pomocí malých tiskacích písmen, například a. Přímka se obvykle zadává dvěma body, neboť každými dvěma body lze vést právě jednu přímku. Existuje také polopřímka, která je podobná přímce, akorát s tím rozdílem, že má počátek (ale stále nemá konec). Například ramena úhlů jsou tvořena polopřímkami.

přímkapřímka p a polopřímka q
 

Zápis přímky v rovině

Pokud se vyskytujeme v rovině, můžeme přímku zapsat pomocí lineární funkce, jejímž grafem je vždy přímka. Bohužel tato metoda selhává v prostoru, neboť lineární funkcí neurčíte třetí rozměr. Nicméně v rovině je zápis pomocí lineární funkce nejjednodušší cesta, jak pospat libovolnou přímku. Pokud máte zadanou funkci, jistě z ní přímku snadno poskládáte, ale opačně to již může být problém. Mějme tedy narýsovanou takovouto přímku:

přímka

Předpis pro lineární funkci vypadá takhle: y=ax+b. Nejprve zjistíme b, absolutní člen. Nejjednodušeji ho zjistíme, pokud z grafu vyčteme, kde protíná přímka osu y, pokud je hodnota x rovna nule. Vidíme, že je to dva, proto bude b=2. Je to proto, že když se bude ax rovnat nule, jediný způsob, jak dostat za y v předpise y=ax+b dvojku je, že se absolutní člen bude rovnat dvěma.

Teď musíme přijít na to, čemu se bude rovnat a. Nyní bude pohodlnější, pokud na chvilku zrušíme absolutní člen a budeme předpokládat, že je nulový. Přímka se poté přemístí do počátku souřadnicového systému a my snadněji určíme a:

přímka

Jasně vidíme, že v bodě x=6 má y hodnotu 2. Tuto informaci dosadíme do předpisu funkce: 6a+0=2. Z tohoto lehce vypočítáme, že a=2/6=1/3. Nyní jsme zjistili hodnotu a a můžeme již napsat celý předpis funkce, potažmo přímky: y=1/3x+2.

 

Vzájemné polohy přímek

Dvě přímky v rovině mohou mít několik různých vzájemných poloh. Začněme tedy vzájemnými polohami v rovině.

Pokud máte dvě přímky, které leží na sobě a splývají v jednu - protínají se všech bodech, nazývají se přímky totožné. Pokud se přímky protínají v jediném bodě, nazývají se přímky různoběžné. Pokud se přímky neprotínají v žádném bodě, nazývají sepřímky rovnoběžné. Rovnoběžné přímky se obvykle značí dvěma takovými krátkými čárkami na každé přímce, viz poslední obrázek. Přehledně to shrnují následující obrázky:

totožné přímkyTotožné přímky určeny body AB a CD
různoběžné přímkyRůznoběžné přímky protínající se v jediném bodě
rovnoběžné přímkyRovnoběžné přímky se neprotínají v žádném bodě

V prostoru je situace o trochu zajímavější, neboť tam můžeme nalézt jednu další polohu. Pokud se totiž přímky neprotínají v žádném bodě, může se jednat buď o rovnoběžky anebo o mimoběžky. Rozdíl mezi nimi je ten, že rovnoběžky mají stejný směr, kdežto mimoběžky mají různý směr. Mimoběžky jsou v zásadě různoběžky, akorát každá přímka se vyskytuje v jiné výšce (ted záleží na úhlu pohledu) a kdybyste se dívali shora, viděli byste různoběžky. Ale každá přímka se vyskytuje v jiné výšce, proto je to mimoběžka.

 

Parametrická rovnice přímky

Tato část už se bude věnovat analytické geometrii, bude reč o vektorech. Neznáte-li vektory, nemá smysl číst dále.

Přímku můžeme definovat různými způsoby. Mezi ně patří i určení pomocí vektoru a bodu. Bod nám označí posunutí od počátku a vektor zase směr přímky. To nám bohatě stačí k tomu, abychom měli jednoznačně určenou přímku. Teď si dobře prohlédněte následující obrázek:

Parametrické vyjádření přímky

Vektor u představuje vektor, kterým je tato přímka určena. Naším úkolem je nyní popsat všechny body na této přímce. Musíme vymyslet nějaký zápis, ve kterém budou obsaženy souřadnice všech bodů, které tato přímka má. S tím nám pomůže ten druhý vektor, v. Je totiž zcela stejný jako vektor u, pouze s tím rozdílem, že je delší. Můžeme ho tudíž zapsat nějak takhle: v = t·u. Konstantu t už bychom museli ručně nějak dopočítat. Nyní už si jen stačit uvědomit, že při různých hodnotách konstanty t se vždy ocitneme na souřadnicích nějakého bodu, který náleží dané přímce. Až za tdosadíme všechna Reálná čísla, projdeme celou přímku.

Číslo t nebylo zvoleno náhodně, jedná se o parametr. Symbolicky můžeme všechny body přímky zapsat takto: X = A + tu, kde X jsou body přímky, bod A je určující bod přímky, u je směrový vektor přímky a t je parametr (braný z Reálných čísel). Ten směrový vektor je docela důležitý pojem, zapamatovat!

Předchozí rovnici můžeme dále rozepsat a vecpat tam souřadnice:

p:\left{\begin{array}{rcl}x&=&x_A + tu_1\\y&=&y_A + tu_2\end{array}\,, t \in \mathbb{R}

To xA je souřadnice určujícího bodu A.

Takže příklad: Mějme dánu přímku p, která prochází bodem A[3; 4] a má směrový vektor u(1; 1). Zapište tuto přímku parametrickou rovnicí. Symbolický zápis máme o pár řádků výše. Za xA a yA doplníme souřadnice bodu A:

p:%20%5Cleft{%3Cbr%20/%3E%5Cbegin{array}{rcl}%3Cbr%20/%3Ex&=&3%20+%20tu_1%5C%5C%3Cbr%20/%3Ey&=&4%20+%20tu_2%3Cbr%20/%3E%5Cend{array}%5C,,%20t%20%5Cin%20%5Cmathbb{R}

A místo u doplníme souřadnice směrového vektoru:

p:%20%5Cleft{%3Cbr%20/%3E%5Cbegin{array}{rcl}%3Cbr%20/%3Ex&=&3%20+%20t%5C%5C%3Cbr%20/%3Ey&=&4%20+%20t%3Cbr%20/%3E%5Cend{array}%5C,,%20t%20%5Cin%20%5Cmathbb{R}

To je všechno.

 

Obecná rovnice přímky v rovině

Obecná rovnice má tvar ax + by + c = 0, kde [x, y] jsou souřadnice libovolného bodu, kterým přímka prochází a a, b, c jsou reálná čísla, pro která musí platit a, b ≠ 0. Tato čísla můžeme jednoduše dopočítat z parametrické rovnice přímky vyloučením parametru t. Nechť přímka p má tuto parametrickou rovnici:

x = 7 + 2t
y = 3 − 4t

Obecnou rovnici získáme tak, že sečteme tyto dvě rovnice, přičemž vyloučíme parametr t (sečteme −t s t). Nyní musíme rovnice vhodně vynásobit, aby v jedné rovnici byl opačný parametr než v druhé rovnici. Poté tyto rovnice sečteme.


\begin{eqnarray*}
x&=&7+2t\quad/\cdot2\\
y&=&3-4t
\end{eqnarray*}
\\
\hspace{35 mm}\downarrow
\\
\begin{eqnarray*}
2x&=&14+4t\\
y&=&3-4t
\end{eqnarray*}
\\
\hspace{35 mm}\downarrow
\\
\begin{eqnarray*}
2x+y&=&14+3+4t-4t\\
2x+y&=&17\\
2x+y-17&=&0
\end{eqnarray*}

Rovnici budou vyhohovat jen takové dvojice [x; y], které tvoří souřadnici bodu náležejícího této přímce.

 
© m3a.zacit.cz - vytvořte si také své webové stránky zdarma, reklama PC fórum