Diskriminant je polynom, pomocí něhož můžeme vypočítat řešení obecné kvadratické rovnice, případně určit, zda rovnice má řešení a kolik takových řešení má.
Vzorec a základní vztahy
Nejprve si zopakujeme základní tvar kvadratické rovnice:
kde a, b, c jsou reálná čísla. Diskriminant, označme ho D, vypočteme takto:
Příklad: mějme kvadratickou rovnici 3x2+5x−7 = 0. Pro tuto rovnici platí: a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminant vypočítáme takto:
Výsledek je tedy 109. Co nám toto číslo říká? Pokud vyjde diskriminant…
- kladný, pak má rovnice dva různé reálné kořeny,
- nulový, pak má rovnice dva stejné reálné kořeny,
- záporný, pak rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení. Nicméně má řešení v oboru komplexních čísel.
Jak vypočítat kořeny kvadratické rovnice
Pomocí diskriminantu můžeme vypočítat přímo kořeny kvadratické rovnice. Vzorec pro výpočet kořenů zní takto:
kde D je diskriminant. Celý vzorec s rozepsaným diskriminantem vypadá takto:
Zkusíme si pomocí tohoto vzorce vypočítat kořeny kvadratické rovnice x2+7x+12 = 0. Jako první spočítáme diskriminant:
Diskriminant vyšel kladný, rovnice tak má dva různé reálné kořeny. Spočítáme první kořen. Jako první budeme přičítat odmocninu z diskriminantu, v druhém kroku budeme odmocninu odečítat:
První kořen nám vyšel −3. Druhý kořen spočítáme odečtením odmocniny:
Nyní už máme oba kořeny rovnice, x1 = −3 a x2 = −4.
Pro zvládnutí tohoto postupu je nezbytně nutné, abyste uměli správně určit hodnoty a, b a c. Jak je správně určit bylo popsáno v prvním článku o kvadratických rovnicích.
A co toto řešení znamená graficky, jak se projeví v grafu? Pokud si nakreslíme graf funkce, která je na levé straně rovnice, pak zjistíme, že graf této kvadratické funkce protíná osu x ve dvou bodech — v bodech x1 = −3 a x2 = −4.
Nulový diskriminant
Pokud vyjde diskriminant nula, pak to znamená, že rovnice má řešení, ale pouze jedno; respektive dvě, ale stejné. Příklad: vyřešte rovnici x2−10x+25 = 0. Spočítáme diskriminant:
Kořen dopočítáme stejně jako v minulé kapitole, pomocí vzorce. Ale protože je diskriminant nulový, zmizí nám z vzorce plus/minus odmocnina z D, protože bychom přičítali/odečítali nulu.
Vyšel nám jeden dvojnásobný kořen, x = 5. Co to znamená graficky? Že graf dané funkce se osy x dotýká v právě jednom bodě, ve svém vrcholu.
Záporný diskriminant
Pokud nám vychází diskriminant záporný, pak kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Rovnici můžeme řešit v oboru komplexních čísel, ale o tom bude až další článek. Pro příklad si zkusíme vyřešit tuto kvadratickou rovnici: x2+x+1 = 0. Diskriminant:
Kvadratická rovnice tak nemá řešení v oboru reálných číslech. Můžete si to zkusit — polynom x2+x+1 bude kladný pro všechna reálná čísla. Například pokud za xdosadíte jedničku, dostáváte: 1+1+1 = 3. Pokud x = −1, pak máme 1−1+1 = 1. Pokud x = 0, máme 0+0+1 = 1. A podobně pro další čísla. Můžete si také prohlédnout graf funkcey = x2+x+1, nikdy neprotne osu x.
Vietovy vzorce
Už víme, jak vypočítat řešení kvadratické rovnice. Jaký je ale mezi nimi vztah? Zkusíme obě řešení x1 a x2 sečíst:
Sečteme-li kořeny kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0, získáme podíl −b/a. Co se stane, pokud kořeny vynásobíme?
Takže pokud kořeny vynásobíme, získáme číslo c/a. A toto jsou Vietovy vzorce. Ještě jednou pohromadě:
Všimněte si, že ve jmenovateli zlomku je vždy výraz a. Speciálním případem je pak kvadratická rovnice, pro kterou platí a = 1. Pak můžeme Vietovy vzorce napsat takto:
Toho můžeme využít při hledání řešení kvadratických rovnic. Než abychom složitě počítali diskriminant, můžeme se podívat, jestli jsme schopni nalézt taková čísla x1 ax2, aby platily výše uvedené vztahy. Příklad: nalezněte řešení rovnice x2+8x+15 = 0. Platí, že a = 1, takže můžeme použít jednodušší Vietovy vzorce. Hledáme čísla x1 a x2tak, aby platilo:
Pokud se omezíme jen na celá čísla, tak máme celkem čtyři možnosti, jak při součinu dostat 15:
Nyní potřebujeme, aby nám součet čísel na pravé straně dal −8. Pouze jediná dvojice takový součet dá, a to −3 a −5. Tato čísla jsou tak řešením kvadratické rovnice. Můžeme si je zkusit dosadit do rovnice, musí nám vyjít nula:
Sedí. Pokud znáte kořeny, můžete také rovnici zapsat v čitelnějším tvaru. Jsou-lix1 a x2 kořeny rovnice ax2+bx+c = 0, pak pokud a = 1, můžete rovnici přepsat do tvaru
Předchozí rovnici tak můžeme přepsat do tvaru: