Pokud vám při řešení kvadratické rovnice vyjde záporný diskriminant, znamená to, že rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Nicméně tato rovnice má vždy řešení v oboru komplexních čísel.
Motivace
Zkusme vyřešit následující kvadratickou rovnici: x2+2x+5 = 0. Jako první spočítámediskriminant: D = 4−20 = −16. Jak už víme, tato rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. Komplexní čísla mají ale tu výhodu, že nám umožňují odmocnit i záporné číslo. Protože platí, že i2 = −1, můžeme náš diskriminant přepsat do podoby −16 = 16i2. Toto číslo už můžeme odmocnit a dostaneme 4i. Dopočítáme řešení kvadratické rovnice:
Vzorce a vztahy
Z předchozího příkladu můžeme odvodit vzorec na výpočet kořenů kvadratické rovnice, pokud je diskriminant záporný:
Z tohoto tedy plyne, že každá kvadratická rovnice má řešení. Pokud je diskriminant nezáporný, stačí nám reálná čísla, pokud je diskriminant záporný, musíme rovnici řešit v komplexních číslech. Obecně můžeme říci, že každá kvadratická rovnice má řešení v oboru komplexních čísel.
I pro tyto komplexní kořeny platí Vietovy vzorce. Nejprve odvození pro součet:
A pro součin. Využijeme toho, že diskriminant je záporný a protože ho potřebujeme odmocnit, budeme počítat s minus D, čímž dostaneme kladné číslo. Namísto |D| tak budeme psát −D, výsledek je stejný.
Příklad
Vyřešte kvadratickou rovnici 2x2+6x+9 = 0. Spočítáme diskriminant: D = 36−72 = −36. Záporné číslo, takže použijeme vzorec pro komplexní kořeny a jen dosadíme: