Kvadratické nerovnice

Takováto nerovnice se řeší podobně jako běžná kvadratická rovnice, nejprve vypočítáme diskriminant a z výsledku můžeme odvozovat další postup. Pokud je diskriminant kladný, má odvozená rovnice dva reálné kořeny. Z těchto dvou kořenů poté vytvoříme celkem tři otevřené (pokud máme v nerovnici „větší než“ nebo „menší než“) či uzavřené (pokud počítáme s „větší nebo rovno“ nebo „menší nebo rovno“) intervaly. Ke konečnému výsledku jsme již kousíček. Musíme zjistit, které intervaly nerovnici vyhovují a které ne. To lze zjistit jednoduše tím, že do původní nerovnice dosadíme číslo z jednoho intervalu. Pokud nerovnice dává smysl, je tento interval řešením nerovnice. Řešením nerovnice jsou vždy buď dva krajní intervaly nebo jeden prostřední.

Druhou možností skrývají grafy. Zkusme si nyní spočítat nerovnici 2x² − 7x + 3 > 0. Diskriminant této rovnice nám vychází 25. Rovnice má tedy dva reálné kořeny - 0,5a 3. Nyní určíme tři intervaly - první bude (−∞, 0,5), druhý (0,5; 3) a třetí (3, ∞). Nyní bychom mohli jednoduše dosadit třeba nulu a zjistili bychom, že tři je větší než nula, tímpádem výsledné intervaly jsou ty dva krajní. Druhou možností je narýsovat si graf, z kterého již bude na první pohled jasné, které větve jsou v kladných a které v záporných číslech. Čteme samozřejmě na ypsilonové ose:

Graf kvadratické funkce 2x² − 7x + 3

Graf protíná ixovou osu v kořenech rovnice a tvoří nám tak na ixové osy zmíněné tři intervaly. Pokud se v tom intervalu vyskytuje graf nad osou, je v těcho místech nerovnice větší než nula. Pokud se graf nachází pod osou, je v těchto místech nerovnice záporná. Sami si můžete vybrat, který způsob určování vám lépe vyhovuje. Nezapomeňte však, že pokud je v nerovnici a (ax²) záporné, parabola má opačný tvar:

Graf obrácené kvadratické funkce −2x² − 2x + 3

Pokud je diskriminant roven nule, má kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a graf takové funkce se dotýká osy x a je celý buď nad osou anebo pod osou. Logicky tedy můžeme odvodit, že nerovnice platí buď pro všechna x anebo pro žádná (tedy v případě „větší než“ a „menší než“). Takže jeden jednoduchý příklad:

Máme nerovnici 3x² + 6x + 3 < 0. Spočítáme si diskriminant, ten je tedy roven nule. Dvojnásobný kořen je rovný minus jedničce. Graf má takovouto podobu:

Graf kvadratické funkce s nulovým diskriminantem

Zjevně vidíme, že graf nikdy nedojde do záporných čísel, tudíž kvadratická nerovnice nemá řešení.

Zde je to nejjednodušší, takováto nerovnice buď nemá v oboru reálných čísel řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení. Zjistíte to jednoduše – zkuste dosadit nějaké číslo. Pokud bude mít rovnice řešení, má nekonečně mnoho řešení (K={R}) a jestli rovnice nemá řešení, nemá žádné řešení. Příklad: x² + 1> 0. Diksriminant vyjde −4. Zkusíme tedy do rovnice doplnit nějaké číslo, asi bude nejlepší nula. Vychází nám 0 + 1 > 0, což je pravda. Rovnice má nekonečně mnoho řešení.

Teď druhý příklad: x² < −5. To upravíme na x² + 5 < 0 a diskriminant vyjde −20 a když dosadíme nulu, vychází nám 5 < 0, což zřejmě není pravda. Rovnice nemá řešení.