Parametrická kvadratická rovnice se od normální kvadratické rovnice liší tím, že obsahuje navíc parametr, často označovaný jako p nebo m. Naším úkolem je pak zjistit, jaké má kvadratická rovnice řešení v závislosti na tomto parametru p.
První příklad
Máme následující kvadratickou rovnici s parametrem p.
Jaká různá řešení má rovnice v závislosti na parametru p? Můžeme rozlišovat celkem tři případy — rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, rovnice má dvě stejná řešení a rovnice má dvě různá řešení. Tyto případy rozlišíme pomocídiskriminantu.
Parametr se chová jako konstanta, tj. pro předchozí kvadratickou rovnici platí, že a = 1, b = 2p a c = 9. Nyní vypočítáme diskriminant tak, jak jsme zvyklí:
Takže diskriminant nám vyšel D = 4p2−36. Nyní musíme zjistit, kdy je tento diskriminant kladný, záporný a nulový.
Začněme nejjednodušším případem, kdy je diskriminant nulový. Řešíme tak najednou rovnici 4p2−36 = 0. Pro jaká p to platí? Toto je ryze kvadratická rovnice a řeší se lehce:
V případě, že je parametr p roven plus nebo minus tři, pak má kvadratická rovnice jedno dvojnásobné řešení.
Nyní vyřešíme, kdy je diskriminant kladný. Řešíme tak kvadratickou nerovnici
Už známe nulové body funkce f(p) = 4p2−36, to jsme vypočítali v předchozím kroku. Z nich poskládáme dva intervaly, jeden „vnitřní“ a druhý „vnější“.
V jednom z těchto intervalů je funkce f(p) kladná, ve druhém záporná. Zjistíme to tak, že dosadíme do funkce nějaký bod z jednoho z intervalů. Nejjednodušší je dosadit z intervalu I2 nulu. Platí, že f(0) = 0−36 = −36. V intervalu I2 je tak funkce záporná, v intervalu I1 je kladná.
Z toho dostáváme, že v intervalu I1 má rovnice dvě různá řešení a v intervalu I2nemá žádné reálné řešení. Můžete si prohlédnout graf funkce f(p) = 4p2−36. V bodech plus a minus odmocnina z pěti je nulová, v intervalu I2 je záporná a v intervalu I1 je kladná.
Dopočítání kořenů rovnice
Nyní nám zbývá dopočítat řešení rovnice v těch případech, kdy rovnice řešení má. Začneme případem, kdy má rovnice jeden dvojnásobný kořen, tedy když je diskriminant rovný nule. To je v případě, kdy je parametr rovný plus nebo minus odmocnině ze tří.
Případ první, p = 3. Rovnice má pak tvar:
Vypočítáme diskriminant této rovnice. Měl by nám vyjít nulový:
Dopočítáme kořen podle vzorce:
Případ druhý, p = −3. Rovnice má tvar:
Spočítáme diskriminant:
Dopočítáme kořen:
V posledním kroku už jen dopočítáme, jaká řešení má rovnice, pokud je parametr z množiny (−∞, −3)∪(3, ∞). Diskriminant máme spočítaný, takže dopočítáme kořeny rovnice podle vzorce.
Lépe už výraz upravit nejde. Toto jsou tedy kořeny kvadratické rovnice, pokud je parametr z intervalu (−∞, −3)∪(3, ∞). Pokud je parametr z intervalu (−3, 3), pak rovnice nemá reálné řešení.