Login:
Heslo:
 
Reklama: Bezpečnostní schránka Co to je bezpečnostní schránka.
Celý život se učíš!
Hledat
Navigace: Matematika 3.A > Rovnice & Nerovnice > Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice

 Základní tvar goniometrické rovnice je sin α = a. Samozřejmě namísto sinu můžeme mít jakoukoliv jinou goniometrickou rovnici, například kosinus, tangens či kotangens. Výsledek často závisí na tom, v jakém definičním oboru se zrovna pohybujeme. Jak již jistě víme, goniometrické funkce jdou do nekonečna. Definiční obor takové funkce sinus je R. A vzhledem k tomu, že jsou to funkce periodické, je jasné, že výsledky se tam budou opakovat. Stejně jako u ostatních rovnic, i zde budeme používat ekvivalentní úpravy rovnic.

 

Základní goniometrická rovnice

Například sin x = 0. Kdy se sinus rovná nule? Letmým kouknutím na graf funkce sinus…

graf funkce sinus

…zjistíme, že sin x se rovná nule docela často. Konkrétně pro hodnoty 0, π, 2π, −π… Zkrátka jsou to násobky Ludolfova čísla. Většinou to zapisujeme takto: K·π, kdeK je celé číslo.

Připomeňme však, že sinus a kosinus mají obor hodnot v intervalu <−1, 1>, tedy rovnice sin x = 2 nemá žádné řešení, protože nejsme schopni nalézt takové x, pro které by výraz sin x měl hodnotu větší než jedna. Samozřejmě rovnice 3sin x = 2 již řešení má, protože můžeme celý výraz podělit trojkou a na pravé straně již bude číslo menší jedničce.

Jednoduché goniometrické rovnice řešíme tak, že například z grafu či z jednotkové kružnice vyčteme jejich hodnotu a zjistíme periodu, kterou k výsledku přičteme. Příklad:

sin x = ½ – Zde budeme postupovat jednoduše. Graf sinu máme nahoře, takže se koukneme, kdy má křivka hodnotu ½. Zjistíme, že je to v případě 1/6π a 5/6π. Důrazně doporučuji naučit se základní tabulkové hodnoty goniometrických funkcí, bez nich vám ani kuk do grafu nepomůže. Funkce sinus má základní peridou , takže k předchozím dvěma výsledkům přičteme ještě 2KπK je opět celé číslo. Celý výsledek tudíž bude: K = {1/6π + 2Kπ; 5/6π + 2Kπ}. Přičtením  obsáhneme všechny možné výsledky této rovnice. Například z grafu lze vyčíst, že rovnice bude jisto jistě platit pro 13/6π. Když si veme první výsledek – 1/6π + 2Kπ – a zaK dosadíme jedničku, dostáváme přesně tentýž výsledek.

První příklad:

Spočtěte rovnici cos x = 1.


Nejprve se podíváme na graf funkce kosinus:

graf funkce sinus

Jasně vidíme, že kosinus vychází na jedničku v nule a násobcích dvou pí. Takže výsledek bude jednoduchý: K={2Kπ}.

 

Substituce

Pokud máme ve funkci nějaký nesmysl, můžeme použít substituci, nahrazení. Například chceme-li spočítat výsledek rovnice sin 2× = 1, nahradíme si (provedeme substituci) a = 2× a dále již počítáme s rovnicí ve tvaru sin a = 1 stejně jako jsme si ukázali v předchozí kapitole. Pozor – tuto rovnici nemůžeme vydělit dvěma: sin 2× = 1 ≠ sin x = ½, to by ta dvojka musela být přímo u toho sinu. Vyjde nám, že sinus se rovná jedné při hodnotě π/2 + 2Kπ. Nyní nachází čas vzpomenout si na naši substituci – musíme jí vrátit zpět: 2× = a, odtud 2× = π/2 + 2Kπ, pokrátíme dvěma a máme x=π/4 + Kπ. To je výsledek našeho snažení: K = {x=π/4 + Kπ}.

Druhý příklad:

Spočtěte rovnici sin (3× − π/2) = 0.


Opět zde použijeme jednoduchou substituci a = 3× − π2. Získáme tím jednoduchou rovnici sin a = 0, kterou jsme již řešili a výsledek známe: K = {Kπ}. Zpětným dosazením do substituce získáváme:

3× − π/2 = a 3× − π/2 = Kπ 3× = Kπ + π/2 x = Kπ/3 + π/6

A to je správný výsledek K = {π/6 + Kπ/3}.

 

Vzorce

Připočítání s goniometrickými rovnicemi se často využívají nejrůznější vzorce, které byste měli znát. Některé jsou základní, jiné už jsou složitější. Uvedu zde přehled všech podstatných vzorců a dále naleznete ukázkové příklady.

Vzorce si prosím pro přehlednost stáhněte ve formátu PDF – Goniometrické vzorce [PDF].

 

Příklady na goniometrické rovnice

Třetí příklad:

Vypočtěte rovnici cos2x − sin x = 1. D(f) = <0; 2π>.


Zde jako první využijeme vzorce a rozložíme cos2x. Dostáváme:

Opět, protože je tam součin, dostáváme dvě rovnice: sin x =0 a sin x + 1 = 0.

Tyhle dvě dílčí řešení už jen sjednotíme a máme to.

K = {0, π, 3π/2, 2π}

Čtvrtý příklad:

Vypočítejte rovnici 


V prvním kroku aplikujeme vzorec a rozložíme sinus na druhou:

V dalším kroku to posčítáme dohromady:

A nakonec uděláme substituci y = cos x.

Toto už vyřešíme jako prostou kvadratickou rovnici:

Nakonec vyřešíme dvojici rovnic cos x = −1 a cos x = ½. To už je jednoduché a již jsme to řešili výše.

Pátý příklad:

Vypočítejte rovnici sin2x - cos2x = 1.


Jako první aplikujeme klasický vzorec a kosinus si vyjádříme pomocí sinu:

2sin2x = 2

Vydělíme dvěma a odečteme jedničku:

sin2x − 1 = 0

Nyní aplikujeme další vzorec, konkrétně rozdíl čtverců, a dostaneme toto:

(sin x − 1)(sin x + 1) = 0

Součin dvou výrazů je nula v případě, kdy je alespoň jeden z výrazů nulový. Kdy se sin x = 1 a sin x = −1 již víme. Řešením goniometrické rovnice je:

 
© m3a.zacit.cz - vytvořte si také své webové stránky zdarma, reklama PC fórum