Login:
Heslo:
 
Reklama: Wifi Analyzer Užitečná aplikace pro Androida
Celý život se učíš!
Hledat
Navigace: Matematika 3.A > Rovnice & Nerovnice > Lineární nerovnice

Lineární nerovnice

 Lineární nerovnice se řeší podobnými úpravami jako když počítáte běžnou lineární rovnici. Lineární nerovnice má zpravidla takovýto tvar: ax+b > 0 (případně menší než, větší nebo rovno a menší nebo rovno). Nyní už stačí pouze upravit nerovnici do následující tvaru a výsledek je na světě: x > −b/a. Samozřejmě předpokládáme, že a≠0.

 

Obyčejná lineární nerovnice

Někdy se hodí, pokud tam máte mockrát minus, vynásobit celou nerovnici minus jedničkou. V tomto případě musíte kromě samotných hodnot nerovnice obrátit také znaménko — z větší než udělat menší než a naopak:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} -x&<&-10\quad /\cdot(-1)\\ x&>&10 \end{eqnarray*}

Toto samozřejmě platí kdykoliv násobíte celou nerovnici jakýmkoliv záporným číslem. Takže ještě jeden rychlý příklad:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} -3x+8&<&2x-7\\ -5x&<&-15\\ -x&<&-3\\ x&>&3 \end{eqnarray*}

V prvním kroku normálně přičteme k nerovnici −2x, takže přesuneme všechny výrazy s proměnnou na levou stranu. Zároveň odečteme osmičku, čímž přesuneme konstanty na pravou stranu. Pak už jen vydělíme celou nerovnici pěti a a vynásobíme minus jedničkou. Další příklady:

 

Proměnná ve jmenovateli

Lineární nerovnice, která obsahuje zlomky s proměnnou ve jmenovateli, se řeší trochu složitějším způsobem. Nerovnici nemůžeme vynásobit neznámou ve jmenovateli, protože neznáme její znaménko. Pokud by totiž hodnota proměnná byla záporná, pak bychom museli otočit znaménko nerovnosti. Proto si nemůžeme dovolit jen tak vynásobit nerovnici proměnnou ve jmenovateli.

Začneme nerovnici upravovat tak, abychom dostali jeden zlomek na levé straně a nulu na pravé straně. Takže nejprve přičteme k nerovnici −12 a pak upravíme na společného jmenovatele a dostaneme jeden zlomek:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} \frac{10}{7x}&\ge&12\\ \frac{10}{7x}-12&\ge&0\\ \frac{10}{7x}-\frac{84x}{7x}&\ge&0\\ \frac{10-84x}{7x}&\ge&0 \end{eqnarray*}

Nyní stojíme před otázkou — kdy je zlomek nezáporný, tj. buď kladný, nebo roven nule? Zlomek je roven nule, pokud je čitatel roven nule. Zlomek je kladný, pokud je čitatel i jmenovatel kladný, nebo pokud je čitatel i jmenovatel záporný. Pokud je jeden z nich kladný a druhý záporný, pak je zlomek záporný.

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} \frac{kladne}{kladne}&=&kladne\\ \frac{kladne}{zaporne}&=&zaporne\\ \frac{zaporne}{kladne}&=&zaporne\\ \frac{zaporne}{zaporne}&=&kladne \end{eqnarray*}

Jako první zjistíme, kdy se čitatel rovná nule, tedy kdy je celý zlomek nulový.

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} 10-84x&=&0\\ 84x&=&10\\ x&=&\frac{10}{84}=\frac{5}{42} \end{eqnarray*}

To je první výsledek nerovnice. Teď se zaměříme na tu část, kdy je čitatel i jmenovatel kladný. Tedy musí zároveň platit tyto nerovnice:

alt: 10-84x>0\qquad\wedge\qquad7x>0

U první nerovnice provedeme podobné úpravy, jako když jsme počítali nulové řešení:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} 10-84x&>&0\\ -84x&>&-10\\ 84x&<&10\\ x&<&\frac{10}{84}=\frac{5}{42} \end{eqnarray*}

Máme řešení první nerovnice. Druhá nerovnice 7x > 0 zřejmě platí, když je x > 0. V tuto chvíli musíme udělat průnik těchto řešení, protože nás zajímají případy, kdy platí obě řešení zároveň, tj. kdy je čitatel kladný a zároveň je jmenovatel kladný:

alt: \left(-\infty, \frac{5}{42}\right)\cap\left(0,\infty\right)=\left(0,\frac{5}{42}\right)

To je další řešení nerovnice. Pokud dosadíte čísla z tohoto intervalu, bude nerovnice platit. Nyní zbývá vyšetřit případ, kdy je čitatel i jmenovatel záporný, tedy musí zároveň platit nerovnice:

alt: 10-84x<0\qquad\wedge\qquad7x<0

Řešení první nerovnice:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} 10-84x&<&0\\ -84x&<&-10\\ 84x&>&10\\ x&>&\frac{10}{84}=\frac{5}{42} \end{eqnarray*}

Druhá nerovnice 7x < 0 zřejmě platí, když je x < 0. Opět uděláme průnik řešení:

alt: \left(\frac{5}{42}, \infty\right)\cap\left(-\infty, 0\right)=\emptyset

První interval je vždy kladný, druhý vždy záporný → jejich průnikem nutně musí být prázdná množina. Tedy zlomek nikdy nebude mít záporný čitatel i jmenovatel zároveň. V tuto chvíli už máme všechny množiny, ve kterých má nerovnice smysl, takže pouze všechny množiny sjednotíme a získáme finální výsledek:

alt: S=\left\{\frac{5}{42}\right\}\cup\left(0,\frac{5}{42}\right)\cup\emptyset=\left(0,\frac{5}{42}\right>
 

Lineární nerovnice s absolutní hodnotou

O něco větší sranda bývá s nerovnicemi, které obsahují absolutní hodnotu. Musíte totiž zvlášť počítat, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný a nemění se tudíž znaménko a kdy je výraz záporný a znaménko se mění — vznikají v zásadě dvě nerovnice v jedné. Takže jednoduchý příklad:

alt: \left|x + 5\right| < 12

Ze všeho nejdříve musíme určit nulový bod, což je číslo, po jehož dosazení se celý výraz v absolutní hodnotě rovná nule a slouží k určení intervalů, ve kterých se znaménko mění a ve kterých ne. Takže jako první řešíme rovnici

alt: x+5=0

Vidíme, že výsledek je x = −5. Tento výsledek nám rozdělí hodnotu x do dvouintervalů. V jednom, kdy bude funkce x+5 nabývat kladných hodnot a ve druhém záporných. Takže v intervalu (−∞, −5) dostáváme záporná čísla a v intervalu −5, ∞)kladná, respektive nezáporná. Pro ukázku, na prvním řádku je číslo z prvního intervalu, ve druhém z druhého:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} -8+5&=&-3\\ 13+5&=&18 \end{eqnarray*}

Co nám to říká? Že pokud dosadíme za x hodnotu větší než minus pět, potom nám absolutní hodnota nezmění výsledek, protože x−5 bude kladné číslo. Naopak, pokud hodnota x bude menší než minus pět, pak bude výsledek x−5 záporný a absolutní hodnota nám jej změní na kladný. Proto musíme v nerovnici rozlišovat tyto dva příklady.

Jako první tak spočítáme výsledek v případě, že budeme brát x z intervalu −5, ∞). V tuto chvíli se nemění znaménko, protože akorát odstraníme absolutní hodnotu.

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} x+5&<&12\\ x&<&7\\ x&\in&\left(-\infty, 7\right) \end{eqnarray*}

Máme skoro první řešení. Musíme totiž ještě udělat průnik s intervalem, ze kterého aktuálně x vybíráme. Pohybujeme se totiž v intervalu −5, ∞), takže výsledkem této lineární nerovnice nemůže být například x = −15, protože nespadá do našeho intervalu. Musíme tak udělat průnik:

alt: \left<-5, \infty\right)\cap(-\infty, 7)=\left<-5,7\right)

To je první výsledek. Nyní musíme spočítat výsledek v případě, kdy bereme x z intervalu (−∞, −5). V tomto intervalu nám absolutní hodnota změní znaménko. Pokud chceme odstranit z nerovnice absolutní hodnotu, musíme tak zařídit změnu znaménka sami, tj. vynásobíme výraz pod absolutní hodnotou číslem −1, čímž změníme výrazu znaménko. Takže to přepíšeme takto:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} \left|x+5\right|&<&12\\ -(x+5)&<&12\\ -x-5&<&12 \end{eqnarray*}

K nerovnici přičteme 5:

alt: -x<17

A vynásobíme −1:

alt: x>-17

Dostáváme tak výsledek:

alt: x\in(-17,\infty)

Ale opět jako předtím, hodnotu x vybíráme z intervalu (−∞, −5), takže musíme ještě udělat průnik tohoto intervalu s naším výsledkem:

alt: (-17,\infty)\cap(-\infty, -5)=(-17,-5)

Teď už máme oba výsledky, které pouze sjednotíme:

alt: x\in\left<-5,7\right)\cup(-17,-5)=(-17,7)

Ještě pár slov k tomu, kdy použít uzavřený a kdy otevřený interval. Pokud máme ostrou nerovnost, tj x > 0, používáme otevřený interval, protože x se nemůže rovnat nule. Pokud nemáme ostrou nerovnost x≥0, tak používáme uzavřený interval, protožex se může rovnat nule. Například když si do nerovnice, kterou jsme teď řešili, dosadítex = 7, což „těsně“ není obsaženo v řešení nerovnice, dostanete:

alt: \parstyle\begin{eqnarray*} \left|x+5\right|&<&12\\ (7+5)&<&12\\ 12&<&12 \end{eqnarray*}

Nerovnice neplatí, 12 není menší než 12.

 
© m3a.zacit.cz - vytvořte si také své webové stránky zdarma, reklama PC fórum