LR s absolutní hodnotou

Připomeňme si, jak se absolutní hodnota počítá a zapisuje. Výraz v absolutní hodnotě zapisujeme pomocí svislítek takto: |a|. Říkáme „absolutní hodnota z čísla a“. Platí pak, že absolutní hodnota nezáporného čísla je totéž číslo. Příklady: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Nicméně absolutní hodnota záporného čísla je kladné číslo: |−7| = 7, |−π| = π, |−½| = ½. Absolutní hodnota z nuly je nula.

Příkladem jednoduché lineární funkce s absolutní hodnotou je rovnice: |x| = 3. Otázkou nyní je, kdy nám absolutní hodnota vrátí jako výsledek tři? Budou to dvě x — jedno kladné a druhé záporné; rovnice tak má dvě řešení. První je rovno x₁ = 3, protože |3| = 3. Druhé řešení je rovno x₂ = −3, protože |−3| = 3.

Zkusme rovnici modifikovat a ztížit. |2x+1| = 5 Uvnitř absolutní hodnoty už máme složitější výraz. Můžeme ale postupovat úplně stejně jako před chvílí. Jaká čísla jsou v absolutní hodnotě rovna čtyřem? Opět 4 a −4. Co z toho plyne? Že vnitřek absolutní hodnoty, tj. výraz 2x+1, musí být roven čtyřem nebo minus čtyřem. Jedině pak má rovnice řešení. Takže řešíme rovnici 2x+1 = 5 a 2x+1 = −5. Rovnice řešíme jako klasické lineární rovnice. Vychází nám:

A druhý výsledek:

Máme tak dva výsledky: x₁ = 2 a x₂ = −3. Můžeme je zkusit dosadit do původní rovnice. V případě x = 2 získáme: |2·2+1| = |4+1| = |5| = 5 a v případě x = −3 máme:|2·(−3)+1| = |−6+1| = |−5| = 5.

Předchozí postup je ale těžko aplikovatelný v případě, kdy máte složitější rovnici. Například tuto:

Tady už máme dva výrazy v absolutní hodnotě a tak musíme zvolit jiný postup. Nejprve trochu jednodušší příklad: co bude platit pro výraz |x−2|, pokud budeme brát xz intervalu (2, ∞)? Výraz v absolutní hodnotě bude vždy kladný. Pokud dosadíme například trojku, získáme: 3−2 = 1. Pokud dosadíme desítku, máme: 10−2 = 8 atd. Pro jakékoliv číslo z tohoto intervalu je výraz v absolutní hodnotě kladný. Jak nám pak s hodnotou zahýbá absolutní hodnota? Vůbec nijak. To je důležité zjištění. Pokud je výraz pod absolutní hodnotou vždy kladný, pak můžeme absolutní hodnotu odstranit — je tam zbytečná. Pokud bereme x z intervalu (2, ∞), pak platí rovnost |x−2| = x−2 (tj. odstranili jsme absolutní hodnotu).

A teď opačný příklad — co když budeme brát x z intervalu (−∞, 2)? Jaká bude hodnota výrazu v absolutní hodnotě, tj. hodnota výrazu x−2? Bude vždy záporná! Zkusíme dosazením jedničky: 1−2 = −1 nebo nuly: 0−2 = −2. Co nám s touto hodnotou udělá absolutní hodnota? Převrátí ji do kladné podoby, změní znaménko. Změnu znaménko můžeme provést násobením minus jedničkou, protože platí, že 5·(−1) = −5, ale také −7·(−1) = 7 a −15·(−1) = 15.

Takže pokud bereme x z intervalu (−∞, 2), pak bude výraz v absolutní hodnotě vždy záporný a absolutní hodnota tak zafunguje a změní výrazu znaménko — vynásobí ho −1. Můžeme tak napsat, pro x z (−∞, 2) platí rovnost: |x−2| = −(x−2). Zkusíme si tam dosadit například nulu. Nejprve do výraz s absolutní hodnotou: |0−2| =|−2| = 2 a nyní do pravé strany: −(0−2) = −(−2) = 2.

Jak je vidět, podobné intervaly nám umožní rozdělit výraz s absolutní hodnotou na dva různé výrazy, které můžeme řešit zcela odděleně. To je výhodné. Otázkou nyní zůstává, jak tyto intervaly hledat?

Kdy výraz x−2 měnil znaménko? Z předchozí části víme, že v celém intervalu (−∞, 2)je výraz záporný a v celém intervalu (2, ∞) je kladný. Jaký je v bodě x = 2? Dosazením zjistíme, že 2−2 = 0 nulový. To není náhoda. Důvod je nejlépe vidět na grafu lineární funkce:

Grafem lienární funkce je přímka, ta může protnout osu x pouze jednou a v případě, kdy protne osu x, tak změní své znaménko. Proto platí, že pokud lineární funkce protne osu x v bodě a, pak bude mít v intervalu (−∞, a) jiné znaménko než v intervalu (a, ∞).

Proto, pokud hledáme intervaly, kdy je lineární funkce kladná a kdy záporná, stačí nám najít tzv. nulový bod, tj. bod x₀, pro který má lineární funkce f funkční hodnotu nula:f(x₀) = 0. Takže pokud hledáme intervaly, kdy je výraz x−2 kladný, jako první vyřešíme rovnici x−2 = 0. Řešením je x = 2. Pak můžeme vytvořit intervaly: (−∞, 2) a (2, ∞). V těchto intervalech pak dále řešíme rovnici, ale už s odstraněnou absolutní hodnotou.

Před mnoha řádky jsme si definovali příklad:

Jak ho vyřešíme? Nejprve nalezneme nulové body každého výrazu pod absolutní hodnotou, tj. pro výraz 4x+2 a x−1. Výraz 4x+2 má nulový bod x = −½ a výraz x−1 má nulový bod x = 1. Protože máme dva nulové body, budeme mít celkem tři intervaly. Každý nulový bod nám nějak rozdělí interval (−∞, ∞). Takže celkem dostáváme intervaly (−∞, −½), ⟨−½, 1⟩ a (1, ∞). Intervaly vždy vybíráme tak, ať pokryjeme celý interval (−∞, ∞).

V dalším kroku musíme zjistit, zda jsou výrazy v daných intervalech kladné nebo záporné. K tomu nám poslouží tabulka:

Značka minus − značí, je výraz v daném intervalu záporný, značka plus + značí, že je kladný. Jak jsme na to přišli? Dosadili jsme libovolné číslo z intervalu. Například v prostředním intervalu jsme mohli dosazovat nulu, což je početně nejjednodušší. Pak u výrazu 4x+2 dostáváme 4·0+2 = 2 a u x+1 máme 0−1 = −1.

Tip: pokud je v prvním intervalu výraz záporný a v dalším kladný, v každém případném dalším intervalu bude výraz opět kladný. Lineární funkce nemůže dvakrát změnit znaménko, viz obrázek nahoře s grafem lineární funkce.

V tuto chvíli víme, v kterých intervalech jsou jaké výrazy kladné nebo záporné. Náš další výpočet se musí rozdělit do třech kroků, musíme zvlášť řešit v každém intervalu.

První interval, tj. x bereme z (−∞, −½). V tomto intervalu jsou oba výrazy záporné, takže pokud chceme odstranit absolutní hodnotu, musí oba výrazy změnit znaménko. V tomto intervalu tak řešíme rovnici:

Tuto rovnici jen jednoduše vyřešíme pomocí ekvivalentních úprav:

Pozor na to, že musíme zkontrolovat, jestli je řešení z intervalu, ve kterém se pohybujeme. My totiž nyní předpokládáme, že x bereme z intervalu (−∞, −½), takže pokud by nám vyšlo řešení, které není z toho intervalu, tak ho nemůžeme použít. Minus sedm pětin se nachází v intervalu (−∞, −½), takže toto je platné řešení rovnice.

Druhý interval, tj. x bereme z ⟨−½, 1⟩. V tomto intervalu je výraz 4x+2 kladný a výraz x−1 stále záporný. Řešíme tak rovnici

Opět jednoduše upravíme:

Je řešení z intervalu, ve kterém pracujeme? Ano, je. Nalezli jsme další řešení lineární rovnice.

Třetí interval, tj. interval (1, ∞). V tomto intervalu jsou oba výrazy kladné, takže můžeme absolutní hodnotu odstranit bez další změny. Řešíme tak rovnici:

Tuto rovnici lehce vyřešíme:

Dostali jsme další výsledek, stejný jako v předchozím intervalu. Nicméně je toto platné řešení pro interval, ve kterém se pohybujeme? Není! Pohybujeme se votevřeném intervalu (1, ∞), jednička není součástí tohoto intervalu, takže toto nalezené řešení v tomto třetím kroku nemůžeme počítat mezi platná řešení.

Lineární rovnice s absolutní hodnotou má dvě řešení, .

Stejně jako klasická lineární rovnice, i tato lze řešit graficky. Nalevo máme funkci f(x) =|4x+2|+|x−1| a napravo g(x) = 6. Necháme si vykreslit tyto dva grafy — protnou se ve dvou bodech. x-ové souřadnice těchto bodů jsou řešením rovnice.