Definiční obor funkce

Jednoduchým příkladem může být funkce f(x) = 1/x. Definiční obor je množina všech přípustných hodnot, které když dosadíme do funkce 1/x, tak získáme platný výraz.

Abychom věděli, co je „platný výraz“, musíme znát vlastnosti funkcí a operací. V naší funkci proměnnou x dělíme, proměnná x je ve jmenovateli zlomku. Jakými hodnotami můžeme dělit? Všemi, kromě nuly. Nulou neumíme dělit, stejně tak nula nesmí být ve jmenovateli zlomku. Jiné omezení dělení nemá.

Proto můžeme za x dosadit jakékoliv reálné číslo kromě nuly. Definiční obor je tak roven: D(f) = ℝ ∖ {0}. Definiční obor obvykle zapisujeme pomocí písmene D a do závorek zapíšeme funkci, jejíž definiční obor počítáme.

V tuto chvíli jsme vypočítali největší definiční obor. Ale protože jsme si definovali definiční obor jako množinu hodnot, která můžeme dosadit za x, tak platí, že i jakákoliv podmnožina definičního oboru bude zase definičním oborem. Občas se nám může hodit omezit funkci jen pro nějaká x. Například v posloupnostech se omezujeme jen napřirozená čísla, v goniometrii se často počítá jen s intervalem ⟨0, 2π⟩.

Nicméně pokud budeme mít zadání příkladu, kde se má vypočítat definiční obor funkce, obvykle se předpokládá, že máte vypočítat největší možný definiční obor.

Definiční obor můžeme vyčíst i z grafu funkce. Pro příklad si vezmeme graf předchozí funkce f(x) = 1/x.

Graf funkce f(x) = 1/x

Pokud si promítnete graf na osu x, získáte definiční obor. Pokud bod x není prvkem definičního oboru, tak pokud uděláte v tomto bodě svislou kolmici k ose x, tak tato přímka neprotne žádný bod grafu. Vidíme, že tuto podmínku splňuje pouze nula — ta nemá „nad sebou ani pod sebou“ žádný bod z grafu funkce. Všechny ostatní mají.

Abyste vypočetli definiční obor nějaké složené funkce, musíte znát definiční obory všech funkcí, ze kterých se složená funkce skládá. Jinak to nejde. Pokud bych vám zadal vypočítat definiční obor funkce f(x) = raz(x) + dva(x), nepochodíte, protože nevíte, jak jsou funkce raz a dva definované. Ukážeme si definiční obory některých elementárních funkcí:

• Logaritmus má D(f) = (0, ∞).
• Odmocnina má D(f) = ⟨0, ∞).
• Tangens má D(f) = ℝ ∖ {π/2 + Kπ}; K ∈ ℤ.
• Kotangens má D(f) = ℝ ∖ {Kπ}; K ∈ ℤ.
• Exponenciální funkce má D(f) = ℝ.
• Lineární funkce a kvadratická funkce mají D(f) = ℝ.

Pokud máte zadanou pouze jednu funkci, je to velice prosté. Zkrátka zjistíme, jaký definiční obor ta funkce má, koukneme na argument a pak už to jen vhodně dosadíme do (ne)rovnice. Takže příklad -– určete definiční obor funkce log (3x + 2). Argument logaritmu musí být nezáporný, proto musí platit 3x + 2 > 0. To je lineární nerovnice, kterou jednoduše vypočítáme:

Definičním oborem jsou všechna x, která splňují tuto nerovnici, takže D(f) = (−2/3, ∞).

Vypočtěte definiční obor .

Pod odmocninou nesmí být záporné číslo, takže vyřešíme nerovnici 2x+8 ≥ 0, čímž dostaneme výsledek:

Takže D(f) = ⟨−4, ∞).

U složených funkcí už je situace mírně komplikovanější, protože musíme brát v potaz více funkcí, které se navzájem ovlivňují a postupně zmenšují svůj definiční obor. Vezměme třeba tenhle příklad:

Zde musí platit dvě podmínky. Výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven nule, nesmí být záporný. Proto x ≥ 0. Jenže odmocnina se nachází ve jmenovateli zlomku, takže musí platit, že ta odmocnina nesmí vyjít nula, pak by zase zlomek neměl smysl. Takže předchozí výrok ještě zesílíme na x > 0.

Obdobně budeme postupovat i u dalších příkladů. Důležité ovšem je určit posloupnost vnořených funkcí –- musíme zjistit, která funkce je vnitřní a která funkce je vnější. U předchozího příkladu to bylo evidentní -– vnitřní funkce byla odmocnina a vnější zlomek. Kdybychom ten výraz chtěli spočítat ručně, nejprve bychom argument xodmocnili a až poté bychom vypočítali zlomek. To je docela dobrá pomůcka -– nejvnitřnější funkce je ta, se kterou byste začali počítat, kdybyste to počítali ručně. Další příklad:

Můžeme nyní zvolit opačný přístup. Budeme hledat vnější funkce. Vnější funkce „obaluje“ vnitřní funkce. Zde zcela zřejmě pátá odmocnina obaluje všechny zbývající funkce. Dále třetí mocnina obaluje výsledek logaritmu, logaritmus obaluje tangens a konečně proměnnou x obaluje tangens. Jednoduché. Starší metodou to můžeme vzít takto: když známe hodnotu x, jako první ji aplikujeme na tangens. Je to tedy nejvnitřnější funkce. Tento výsledek aplikujeme na logaritmus -– je to tedy druhá nejvnitřnější funkce. Tento výsledek zase aplikujeme na mocninu a na konec to odmocníme.

Rozložte složenou funkci:

Začneme vnější funkcí. Tou je sinus. Dále v pořadí je zlomek, pak logaritmus, pak exponenciální funkce (představte si tuto substituci: 10^a) a nakonec lineární funkce 2x + 3.

Rozložte složenou funkci:

Vnější funkce je exponenciální funkce 2^a. Dále je zlomek a pak ve jmenovateli zlomku odmocnina a nakonec lineární funkce 3x.

Umíte-li rozkládat funkce na vnější a vnitřní, už pro vás nemůže být žádný problém určit definiční obor. Ukážeme si to rovnou na příkladu:

Začneme zlomkem. U něj musí platit, že jmenovatel je různý od nuly. Napíšeme si to:

Z vlastností funkce sinus víme, že hodnoty −1 dosahuje v bodě x = π/2. Protože je to periodická funkce, dostáváme množinu K = {π/2 + 2Kπ}; K ∈ ℤ. Toto je množina hodnot, pro které vyjde jmenovatel rovný nule. Tato x nemůžeme do naší funkce dosadit.

To ale není všechno, ještě se musíme podívat na definiční obor funkce sinus. Ten je ale naštěstí roven ℝ, takže nás nijak neomezuje. Omezení je dáno pouze jmenovatelem zlomku. Takže D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2Kπ}; K ∈ ℤ.