Jak narýsovat trojúhelník

Známe-li délky všech tří stran, je narýsování trojúhelníku docela hračka. Vybereme si jednu ze stran, třeba AB, a narýsujeme ji jako normální úsečku. Poté musíme zjistit, kde se nachází třetí bod. To se udělá jednoduše, vezme se kružítko, zapíchne se do bodu B a opíše se kružnice o délce strany BC, třeba pět centimetrů. Tím zjistíme, kde všude by se mohl nacházet bod C, aby byl od bodu B vzdálen právě pět centimetrů. Poté to samé uděláme se stranou AC a bodem A. Nyní máme dvě kružnice a jejich průsečík nám udává bod, který má od vrcholu A vzdálenost určený počet centimetrů a od bodu B taktéž. Vše si můžete prohlédnout na následujícím videu:

Každá strana trojúhelníku má svou výšku, která se definuje jako kolmice z protějšího bodu na určenou stranu. Pokud by ona kolmice neprotínala přímo stranu, musíme stranu protáhnout až do míst, kde se protne s kolmicí. Základní vlastnost výšky tedy je, že je kolmá na stranu, ke které patří. Toho se často využívá při početních úlohách, neboť můžeme použít Pythagorovu větu. Výška na stranu C se obvykle zapisuje pomocí malého písmene v a v dolním indexu poté označení té strany, které výška přísluší. Tedy v našem případě vc. Pata kolmice (průsečík strany s kolmicí) se označuje podobně, akorát místo malého v napíšeme velké P: P_c.

Výška trojúhelníku

Výšku jsme vedli z vrcholu C. Druhý bod leží na protější straně AB (neboli strana c) a úsečka CP_c je kolmá na stranu c. Bod P_c se nazývá pata výšky; stranu c nazýváme základnou. Patu obvykle pojmenováváme po písmenu P s dolním indexem, kde je vrchol, z kterého výška vede. V tomto případě je to vrchol C.

Výšky se rýsuje celkem snadno, vezmete si pravítko a vedete kolmici ze strany ctak, aby tato kolmice protla právě bod C. To je vše.

Výšku můžeme vést z každého vrcholu trojúhelníka. Všechny výšky se pak protínají v bodě, které se nazývá ortocentrum. Ortocentrum může ležet vevnitř trojúhelníku, ale také nemusí. V případě ostroúhlého trojúhelníku leží ortocentrum vevnitř trojúhelníku:

Kromě výšky má každý trojúhelník ještě tři těžnice. Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol se středem protější strany. Všechny tři těžnice se protínají v jediném bodě, které se nazývá těžiště. Toto těžiště poté dělí těžnice vždy v poměru 2:1 — část těžnice před těžištěm je buď dvakráte menší anebo větší než druhá část za těžištěm. Těžnice se pojmenovávají malým písmenem t a s dolním indexem stany, ke které přísluší. Těžiště se pak obvykle pojmenovává jedním velkým písmenem T.

Těžnice trojúhelníku

Pokud znáte dvě strany a těžnici k některé z těchto dvou stran, trojúhelník narýsujete velmi lehce. Začnete opět narýsováním strany AB a poté zjistíte, kde leží bod C tak, že uděláte dvě kružnice, první se středem v bodě B (nebo A, pokud znáte délku AC) a druhou se středem ve středu strany AB. Bod, kde se kružnice protnou, je hledaný bod C. Animace již myslím není potřebná, postup je stejný jako v první animaci, akorát namísto trojúhelníku ABC rýsujete nejprve trojúhelník S_cBC, z kterého zjistíte hledaný vrchol C.

Nejprve si prohlédněte nákres, jak by to asi mělo vypadat:

Těžnice

Červeně vyznačené položky známe a podle nich máme narýsovat celý trojúhelník. Postup je následující -– doplníme tento trojúhelník na čtyřúhelník a podle čtyřúhelníku již dorýsujeme zbytek. Jasně to vysvětluje následující obrázek (připomínám, že délkaBD se rovná dvojnásobku délky t_b).

Doplnění na čtyřúhelník ABCD

Tenhle čtyřúhelník narýsujeme jednoduše. Nejprve narýsujeme trojúhelník ABD. Délku strany AB známe, délka strany BD je 2t_b a délka AD je stejná jako délka BC. BodC nalezeneme buď tak, že si najdeme bod T_b, což je polovina úsečky BD a poté již jen narýsujeme polopřímku AT_b a délka AC je délka 2AT_b. Druhá možnost je narýsovat přímku rovnoběžnou se stranou AB a bod C bude ležet na této přímce a bude od boduD vzdálen |AB|. Daleko přehledněji to znázorňuje následující video: