Jednotková kružnice

Jednotková kružnice je kružnice, která má poloměr délky jedné a střed této kružnice se nachází ve středu souřadnicového systémy, tedy v bodě [0, 0]. Podívejte se na následující obrázek:

Jednotková kružnice

Kružnice je dále rozdělena do čtyř částí, kterým říkáme kvadranty. Vpravo nahoře je kvadrant první, vlevo nahoře druhý, vlevo dole třetí a vpravo dole čtvrtý. Protože tuto kružnici budeme používat k znároňování úhlů, jsou na kružnici zvýrazněny stupně. Tam, kde je nula stupňů, tam obvykle začíná rameno úhlu a směřuje nahoru. Proto je bod [0, 1] označen pravým úhlem.

Na jednotkové kružnici se dají velmi hezky znázornit jednotlivé goniometrické funkce. Nejprve na jednotkovou kružnici naneseme nějaký úhel a poté si ukážeme, kde můžeme na jednotkové kružnici přečíst hodnoty jednotlivých funkcí.

Jednotková kružnice s vyznačeným úhlem ASB

Nanesli jsme na kružnici úhel ASB (červeně). Tento úhel jsme pojmenovali alfa. Ramena úhlu protínají jednotkovou kružnici ve dvou bodech: A a B. Důležitý pro nás bude bod B. Pokud z bodu B povedeme přímku rovnoběžnou s osou x (na obrázku je to ta přerušovaná horizontální čára), tak nám tato přímka protne osu y v právě jednom bodě. Tento bod si označíme P_s. Přitom platí, že délka úsečky SP_s (zelená úsečka) je rovna sinu úhlu alfa.

Protože se pohybujeme v jednotkové kružnici, která má střed v počátku souřadnicového systému, tak platí, že délka úsečky SP_s (zelená úsečka) je rovna y-ové souřadnici bodu P_s což je rovno y-ové souřadnici bodu B.

Na stejné kružnici můžeme přečíst také cosinus. Povedeme tak přímku rovnoběžnou s osou y procházející bodem B. Tato přímka nám protne osu x v bodě, který si označíme P_c. Délka úsečky SP_c je pak rovna cosinu úhlu alfa. Opět můžeme říci, že tato hodnota je rovna x-ové souřadnici bodu B a P_c.

Podobně, jako jsme na jednotkové kružnici definovali sinus a cosinus, můžeme zde definovat tangens a kotangens. Pro přehlednost si nejprve ukážeme, kde se na jednotkové kružnici vyskytne tangens. K tomu budeme potřebovat další přímku. Bude to přímka, která je rovnoběžná s osou y a prochází bodem A, neboli bodem [1, 0]. Na následujícím obrázku je to ta modrá přímka:

Tangens na jednotkové kružnici

Tato přímka protíná polopřímku (rameno úhlu) SB v jednom bodě, který si označíme P_t. Vzdálenost úsečky AP_t je pak rovna tangensu úhlu alfa. Opět platí, že stačí vzít y-ovou souřadnici bodu P_t a také získáme tangens úhlu alfa.

Abychom na jednotkové kružnici znázornili kotangens, budeme potřebovat ještě jednu přímku. Tentokrát půjde o přímku, která prochází bodem [0, 1] a je rovnoběžná s osou x. Opět je zvýrazněna modrou barvou:

Kotangens na jednotkové kružnici

Tato přímka protíná polopřímku (rameno úhlu) SB v jednom bodě, který si označíme P_k. Vzdálenost úsečky CP_k je pak rovna kotangensu úhlu alfa. Jako vždy můžeme vzít pouze x-ovou souřadnici bodu P_k a získáme cotangens úhlu.

Otázkou je, co se stane, pokud bude úhel alfa větší než 90 stupňů u tangensu a větší než 180 stupňů u kotangensu, protože v těchto případech přímka neprotne rameno úhlu, viz následující obrázek:

Rameno SB neprotne modrou přímku p

V tuto chvíli uděláme z polopřímky SB přímkou a tato přímka už přímku p protne.

Kotangens úhlu, který je větší než 180 stupňů

Podobně bychom postupovali i v případě tangensu.

Na jednotkové kružnici si můžeme všimnou jedné zajímavé věci. Pokud je úhel alfa rovný 180 stupňům, potom se přímka p a rameno úhlu nikdy neprotnou, protože budou rovnoběžné. Jak opravíme tento problém? Nijak, kotangens 180 stupňů není definovaný. Podobně není definovaný tangens 90 stupňů, protože takové rameno bude rovnoběžné s osou x a bude tak i rovnoběžné s přímkou, se kterou by se mělo protnout. Následující obrázek to ukazuje alespoň pro kotangens.

Kotangens 180 stupňů není definovaný