Úhel

Konvexní úhel

Předchozí obrázek ale nebyl zcela pravdivý, protože jsme nespecifikovali, jaký úhel myslíme. Na první pohled bychom si sice mohli pod úhlem ABC představit zmíněnou plochu, ovšem stejně tak bychom si mohli představit druhou část roviny:

Nekonvexní úhel

Proto bychom při zapisování úhlů měli rozlišit, zda myslíme konvexní úhel (ten, který má méně než 180°) či nekonvexní úhel (více než 180°). Nekonvexnímu úhlu můžeme také říkat konkávní úhel. To se může zapisovat například za pomoci orientovaného úhlu. Úhel může mít buď kladnou nebo zápornou orientaci. U kladné orientace postupujeme proti směru hodinových ručiček a v záporném po směru hodinových ručiček. Takže při zápisu úhlu ABC je jako první zmíněna polopřímka AB a jako druhá polopřímka BC. V kladném směru se koukneme na polopřímku AB a postupujeme dále proti směru hodinových ručiček. V našem příkladu nahoře by nám vyšel první obrázek, konvexní úhel. Kdybychom si určili záporný směr, dostali bychom úhel nekonvexní, tedy druhý obrázek. Standardně se počítá s kladným směrem, i v tomto článku budou zápisy psány v kladném smyslu.

Druhou možností je přímo vyznačit zda se jedná o konvexní či nekonvexní úhel pomocí symbolů  (tento znak se používá obecně pro úhel) a .

Úhel se tedy skládá ze dvou ramen, které úhel ohraničují, z vrcholu úhlu, z něhož ty polopřímky vycházejí a z plochy, kterou vymezují ramena úhlu. Máme-li úhel ABC, ramena úhlu jsou AB a BC a vrchol je B.

Stejně jako můžeme změřit délku úsečky, můžeme také změřit velikost úhlu. Ta se měří buďto v klasické stupňové míře, kterou určitě znáte nebo v obloukové míře. Stupňová míra je jednoduchá, 90° je pravý úhel (například vnitřní úhly čtverce mají každý 90°), 180° je přímý úhel (svírají ho třeba opačné polopřímky) a 360° je plný úhel (svírají ho polopřímky, které leží na sobě - takovýto úhel je tvořen celou okolní rovinou). Stupeň se dále dělí na minuty (značí se ′) a vteřiny (značí se ″). Jeden stupeň má minut a jedna minuta má šedesát vteřin. 1° = 60′ a 1′ = 60″.

Pravý úhel

Přímý úhel

Plný úhel

Oblouková míra už je trochu horší na představivost, protože se zde počítá s radiány, které nemají absolutní hodnotu. Velikost radiánu a další vlastnosti už jsem ale popisoval u goniometrických funkcí, takže se nebudu opakovat.

Úhly můžeme dále podle velikosti rozdělit na ostrý úhel, který má méně než 90° a na tupý úhel, ten má mezi 90° a 180°. Jedná se o jakousi podmnožinu konvexního úhlu, který jsem ukazoval výše. Více než 180° má nekonvexní úhel, který se ji dále nedělí.

Ostrý úhel

Tupý úhel

Každý úhel má svou osu, což je přímka, která prochází vrcholem úhlu a daný úhel půlí. Už z této definice vyplývá, že osa úhlu je v každém svém bodu stejně vzdálená od prvního a druhého ramene. Osa se obvykle značí malým písmenem o.

Osa úhlu

Sestrojit osu úhlu není žádný problém, bude stačit pouze kružítko, pravítko a propiska, v lepším případě tužka (ale všichni víme, že není nad to rýsovat propiskou). Nejprve narýsujeme libovolně velkou kružnici se středem ve vrcholu úhlu, u kterého chceme osu udělat. Tato kružnice protne ramena úhlu vždy v jednom bodě, dejme tomu M a N. Poté vezmeme do kružítka opět libovolnou vzdálenost (klidně stejnou, ale nesmí to být malý poloměr, dále pochopíte proč) a uděláte stejně velké kružnice postupně se středem v M a poté se středem v N. Tam, kde se kružnice protnou, se nachází jeden bod osy. Druhý bod osy se nachází ve vrcholu úhlu. Skrze tyto body povedete přímku a máte osu.

Nejprve narýsujeme kružnici se středem ve vrcholu úhlu a označíme si průniky s rameny postupně M a N:

Nyní narýsujeme kružnice se středem v bodech M a N a průsečík označíme O:

V posledním kroku už jen protneme přímku vrcholem úhlu a nově získaným bodem O a tím získáme osu úhlu:

Osa je hotová. Nyní mají úhly NVO a OVM stejnou velikost.

Některé specifické dvojice úhlů mají různé vlastnosti, o kterých je dobré vědět.

Vrcholové úhly jsou takové úhly, které mají společný vrchol a jejich ramena tvoří opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou vždy shodné, mají stejnou velikost.

Vrcholové úhly mají stejnou velikost

Vedlejší úhly jsou takové úhly, které mají jedno rameno společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je vždy roven 180°, přímému úhlu.

Součet vedlejších úhlů je vždy roven 180°

Souhlasné úhly jsou úhly, jejichž první ramena jsou rovnoběžná a druhá leží na jedné přímce. Musí také platit, že úhly mají stejnou orientaci. Souhlasné úhly jsou shodné.

Souhlasné úhly jsou shodné

Existují ještě další typy úhlů, ale už jsou to pouze pozice, které se dají odvodit na základě těchto tří výše popsaných umístění.

S úhly můžeme provádět jisté elementární operace. Nejzákladnější je sčítání. Numericky na tom není takřka co zkazit, normálně sečtete velikosti úhlů. Pokud má úhel více než 360°, obvykle se převádí na jednodušší tvar, někde v intervalu 0° - 360°. Zkrátka jako byste pracovali v třistašedesátkové číselné soustavě. Podobně pokud máte v příkladu minuty či vteřiny, musíte počítat v šedesátkové soustavě (jako normální hodiny).

Takže pro jistotu jeden ukázkový příklad. Sečtěte tyto úhly: α = 183° 51′ aβ = 222° 24′. Nejrpve spočítáme minuty 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (postup je jednoduchý, vydělíte 75 šedesáti. Výsledek udává počet stupňů a zbytek počet zbývajících minut). Nyní spočítáme stupně: 183° + 222° = 405°. K tomuto dílčímu výsledku přičteme předchozí výsledek 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nyní tento úhel budeme snižovat o 360 tak dlouho, dokud nebude v intervalu mezi 0 a 360. Snižujeme proto, že pokud opíšeme úhel o velikosti 360°, jsme opět na začátku, úhel o velikosti 361° bude mít na papíře stejnou velikost jako úhel o velikosti 1°. Dostáváme se k tomuto výpočtu:406° 15′ = 46° 15′.

Grafické sčítání úhlů je to trochu složitější, abyste mohli sčítat úhly, potřebujete umět přenášet úhly.

Nejprve na jednoduchém příkladu ukáži, jak přenést libovolný úhel a poté tuto metodu aplikuji na sčítání úhlů. Mějme tedy takovýto úhel:

Naším úkolem je přenést úhel α o fous výš tak, aby vrchol přenešeného úhlu α'odpovídal bodu A', aby měl stejnou orientaci a aby spodní rameno leželo na přímce q(v horním obrázku je zašedlá). Nyní budeme potřebovat kružítko. Narýsujeme část kružnice mezi rameny úhlu α o libovolném poloměru se středem ve vrcholu úhlu, A. V kružítku si ponechejte poloměr této kružnice.

Nyní narýsujte stejnou část kružnice, o stejném poloměru, ale se středem v boděA', tedy v místě, kde má být vrchol přenášeného úhlu. Tam, kde kružnice protne přímku q, se bude nacházet bod B'.

Nyní vezmeme do kružítka vzdálenost úsečky |BD|, zabodneme kružítko do boduB' a narýsujeme kružnici. V bodě, kde tato kružnice protne předchozí část kružnice, se nachází bod C'.

Nyní už máme všechny tři body potřebné k sestrojení nového úhlu B'A'C'.

Nyní už bude sčítání úhlů hračka. Vezmete jeden úhel, přenesete ho k druhému tak, aby měly jedno společné rameno a výsledný úhel tvoří ramena, která mají ty dva úhly různá:

Sčítání úhlů

V tomto příkladu je znázorněn součet α + β. Společné rameno polopřímka AC a různá ramena polopřímky AB a AD. Výsledek je úhel BAD.

U odečítání to funguje velice pdoobně, akorát jeden úhel nepřenesete vně druhého úhlu, ale dovnitř úhlu. Poté od většího úhlu jakoby odečtete průnik těch dvou úhlů a máte rozdíl.

Rozdíl úhlů

Obrázek znázorňuje rozdíl α − β. Červená část pak opět zvýrazňuje výsledný úhel.