Login:
Heslo:
 
Reklama: Bezpečnostní schránka Co to je bezpečnostní schránka.
Celý život se učíš!
Hledat
Navigace: Matematika 3.A > Vztahy mezi: Sin, Cos, Tg, Cotg

Vztahy mezi: Sin, Cos, Tg, Cotg

 Vztah mezi sinem a cosinem

Goniometrické funkce mají mezi sebou blízké vztahy. Když se podíváte na graf funkce sinus a cosinus současně, tak zjistíte, že se od sebe moc neliší, že jedna je jen trochu posunutá oproti té druhé.
Funkce sinus a cosinus jsou jen posunuté o π/2Funkce sinus a cosinus jsou jen posunuté o π/2
Takže pokud k argumentu funkce vždy přičteme π/2, dostaneme funkci cosinus:
Funkce sinus posunutá o π/2 — křivka je shodná s grafem funkce cosinusFunkce sinus posunutá o π/2 — křivka je shodná s grafem funkce cosinus
A naopak, pokud u cosinu odečteme π/2, dostaneme sinus.
Funkce cosinus posunutá o π/2 zpět — křivka je shodná s grafem funkce sinusFunkce cosinus posunutá o π/2 zpět — křivka je shodná s grafem funkce sinus
Můžeme tak napsat tyto vzorce:
alt: \parstyle\begin{eqnarray*} \sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\ \cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}
Jak vyjádřit tangens a cotangens
Funkci tangens můžeme lehce vyjádřit pomocí sinu a cosinu. Stačí si uvědomit, co to tangens je: poměr délek protilehlé odvěsny ku délce přilehlé přeponě. Vezmeme si na pomoc tento trojúhelník:
Trojúhelní s vyznačeným úhlem betaTrojúhelní s vyznačeným úhlem beta
Čemu se rovná tangens úhlu beta?
alt: \tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.
Jak bychom mohli vyjádřit čitatele nebo jmenovatele? Čemu se rovná délka stranyb a délka strany c? Víme, že sinus úhlu beta je roven:
alt: \sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}
Z toho vzorce osamostatníme |b|:
alt: |b|=\sin(\beta)\cdot|a|
Cosinus úhlu beta je rovný:
alt: \cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}
Osamostatníme |c|:
alt: |c|=\cos(\beta)\cdot|a|
V tuto chvíli máme délky stran b a c vyjádřené pomocí funkcí sinus cosinus. Dosadíme tak tyto mezivýsledky do původní rovnice s tangensem:
alt: \tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}
Z čitatele a jmenovatele můžeme zkrátit |a| a dostaneme konečný vzorec:
alt: \tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}
Tangens tak můžeme rozepsat jako podíl sinu a cosinu. Už bez odvození si povíme, že cotangens můžeme napsat jako obrácený zlomek, tj. podíl cosinus lomeno sinus.
alt: \parstyle\begin{eqnarray*} \tan(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \cot(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray*}
Vztah mezi tangensem a cotangensem
Podobně jako jsou si podobné funkce sinus a cosinus, jsou si podobné i funkce tangens a cotangens. Prohlédněte si oba grafy v jednom obrázku:
Podobnost funkcí tangens a cotangensPodobnost funkcí tangens a cotangens
Jakým způsobem uděláme z křivky, která popisuje tangens, křivku popisující cotangens? Cotangens je posunutý o π/2, tím začneme:
Tangens posunutý o π/2Tangens posunutý o π/2
Už jsme se dostali blíže ke cotangensu, ale stále máme křivky ve špatné směru, cotangens je ve vybraných intervalech klesající, zatímco tato posunutá křivka je rostoucí. Tomu pomůžeme tak, že změníme znaménko proměnné x:
Graf funkce tangens a cotangensGraf funkce tangens a cotangens
Můžeme tak napsat:
alt: \cot(x)=\tan(-x+\frac{\pi}{2})
Tabulkové hodnoty
Sinus, cosinus, tangens a cotangens mají pro některé hezké úhly hezké výsledné hodnoty. Zde je jejich základní přehled:
alt:  \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix}
 
© m3a.zacit.cz - vytvořte si také své webové stránky zdarma, reklama PC fórum