Pythagorova věta

Pythagorova věta zní nějak takto: „Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami“. Matematicky se tato věta obvykle zapisuje takhle

kde a a b jsou délky odvěsen v trojúhelníku a c je délka přepony.

Co tedy Pythagorova věta říká? Obsah čtverce nad přeponou znamená, že vezmeme čtverec, který má délku strany rovnou délce přepony a spočítáme jeho obsah. Obsah čtverce vypočítáme tak, že vynásobíme jednu délku strany s druhou délkou strany, tedy pokud má strana délku c, bude obsah S roven: S = c· c, což můžeme pomocí mocnin napsat jako S = c².

Stejně bychom vypočítali obsahy nad odvěsnami, pouze místo přepon bychom brali délky odvěsen.

Pythagorova věta pak tvrdí, že když si spočítáte obsah čtverce nad jednou odvěsnou, sečtete s obsahem čtverce nad druhou odvěsnou, tak tento součet se bude rovnat obsahu čtverce nad přeponou (pro jistotu — přepona je nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku).

Vše přehledně ukazuje následující obrázek:

Pythagorova věta v grafickém znázornění

Na obrázku je trojúhelník ABC. Přepona, neboli strana c, je rovna straně AC a ta má délku 5. Zbylé dvě strany, AB a CB, jsou odvěsny a mají délky 3 a 4. Pokud nad odvěsnami vytvoříme čtverce (v obrázku čtverce ABED a BCFG) a spočítáme jejich obsahy (9 a 16), pak po jejich sečtení dostáváme obsah čtverce nad přeponou, tj. čtverce ACIH, který má obsah 25.

Ještě jednou zdůrazním, že věta platí pouze v pravoúhlém trojúhelníku, nikoli v obecném. Pythagorova věta se klasicky používá v případech, kdy znáte velikost dvou stran a potřebujete vypočítat délku zbývající strany. Protože se pohybujeme v kladných číslech, můžeme předchozí rovnici odmocnit a například délku strany c bychom vypočetli takto:

Délku strany a získáme po jednoduché úpravě rovnice:

Mějme trojúhelník ABC, u kterého známe délky dvou stran: a = |3| a b = |4|. Otázka zní, jaká je délka zbývající strany, strany c? Trojúhelník znázorňuje následující obrázek:

Trojúhelník k prvnímu úkolu

Vidíme, že známe délky dvou odvěsen a chybí nám délka přepony. Proto použijeme první, neupravený vzorec:

Dosadíme za proměnné a a b délky stran:

Ve vzorci máme druhou mocninu — pro připomenutí platí následující vztah:

Takže po vypočítání druhé mocniny získáváme:

Výsledkem je, že délka strany c je rovna pěti.

V tomto příkladě si zkusíme vypočítat délku jedné z odvěsen, pokud jednu odvěsnu známe a k tomu délku přepony. Takže máme trojúhelník ABC o délkách stran |AB| = 10a |BC| = 6. Trojúhelník zobrazuje následující obrázek:

Trojúhelník k druhému příkladu

Z obrázku vidíme, že přepona, tedy nejdelší strana, ne strana |AB|. Potřebujeme vypočítat délku strany |AC|. Dosadíme do druhého vzorce, pro výpočet délky odvěsny:

Abychom použili Pythagorovu větu správně, musíme si nyní uvědomit, co která proměnná značí. V tomto vzorečku je proměnná a délka strany, kterou chceme vypočítat, v našem případě strana |AC|. Proměnná c je délka přepony, nejdelší strany, v našem případě strana |AB|. A proměnná b je délka odvěsny, jejíž délku známe, v našem případě |BC|. Proto dosadíme do vzorce takto:

Dosadíme konkrétní délky stran, které známe:

Vypočítáme mocniny a odečteme:

A nakonec odmocníme:

Délka strany |AC| je rovna osmi.

Představte si, že jdete ke kamarádce po rovné cestě. Ta cesta má délku 250 metrů. Po tomto čtvrt kilometru zahnete doleva a půjdete dalších 100 metrů a jste u své dobré kamarádky. Otázka zní, o kolik bude kratší cesta, když půjdete přímou cestou přes pole?

Jako první krok si spočítáme délku cesty, když půjdete po silnici. Půjdete nejdřív 250 metrů rovně a pak 100 metrů doleva. To je celkem 250+100 = 350 metrů. Teď je na řadě výpočet délky cesty přes pole. K tomu bude potřeba obrázek.

Směr cesty, pokud půjdete po silnici

Jeden dílek na obrázku představuje 50 metrů. Jak by vypadala přímá cesta přes pole? Byla by to úsečka z bodu |A| do bodu |C|. Zakreslíme ji do obrázku červenou barvou.

Zvýraznění zkratky přes pole

Teď už vidíme, že pro výpočet délky cesty přes pole nám stačí vhodně aplikovat Pythagorovu větu. Hledáme délku přepony a známe délku obou odvěsen, takže použijeme první vzorec a doplníme do něj takto:

Dosadíme délky:

Umocníme:

Odmocníme a zaokrouhlíme:

Délka cesty přes pole je 269 metrů. To ještě není konec příkladu, otázka zněla, o kolik je cesta přes pole kratší. Odečteme tak délky od sebe, rozdíl označíme r:

Odpovědí je, že cesta je kratší o přibližně 81 metrů.

Jaká je délka strany čtverce, který má délku úhlopříčky deset? Jak nám k tomu pomůže Pythagorova věta? Musíme ve čtverci nají nějaký pravoúhlý trojúhelník, který bychom použili k výpočtu délky strany čtverce. Jen pro připomenutí: čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Nakresleme si současnou situaci:

Čtverec s délkou úhlopříčky deset

Vidíme, že ve čtverci se rázem objevily dva trojúhelníky, které mají pravý úhel, a které bychom mohli použít pro výpočet délky strany. Vezměme si třeba trojúhelníkBCD. Strana DB je přepona, zbylé dvě jsou odvěsny. Délky odvěsen neznáme, ale známe délku přepony. Tyto odvěsny mají stejnou délku, tedy |BC| = |CD|. Použijeme základní Pythagorovu větu:

Protože se ale odvěsny rovnají, stačí nám vypočíst druhou mocninu jedné odvěsny a tu vynásobit dvěma — nemusíme počítat druhou mocninu obou odvěsen, protože jsou stejné a vyšel by nám stejný výsledek. Můžeme tak napsat:

Známe délku strany BD, to je přepona. Délka je rovna deseti. Dosadíme do rovnice:

Umocníme desítku:

Vydělíme dvěma:

Teď už jsme skoro u cíle. Víme, že druhá mocnina délka strany čtverce se rovná 50. Pro zjištění délky strany tak musíme ještě rovnici odmocnit, což si můžeme dovolit, protože se pohybujeme v kladných číslech:

Odmocninu z padesáti necháme v tomto tvaru, na pravé straně rovnice ale můžeme zrušit odmocninu a mocninu, protože se navzájem vyruší.

Jestli chcete, můžete odmocnit i tu padesátku. Zaokrouhleně by vám vyšla sedmička:

Takže platí, že délka strany čtverce je přibližně sedm, přesně odmocnina z padesáti.